Cesko.wiki Okolí (matematika)
Author
Albert FloresOkolí bodu je podmnožina topologického prostoru, jejíž některá otevřená podmnožina obsahuje tento bod. Okolí bodu je taková množina, že i body „blízké“ původnímu bodu leží stále v této množině. Pomocí okolí bodů se dají definovat pojmy jako uzávěr a vnitřek množiny, spojité zobrazení, limita funkce a podobně.
Úvod
Pojem okolí byl nejprve studován na množině reálných čísel, poté byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i komplexní čísla jsou metrickým prostorem a každý metrický prostor je topologickým prostorem. +more Proto ze všech níže uvedených definic je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než zbývající definice).
Všechny níže uvedené definice jsou ekvivalentní v tom smyslu, že pokud má na nějaké struktuře smysl více než jedna z níže uvedených definic pojmu okolí nebo ε-okolí, pak tyto definice splývají. Například na množině je 1-okolí bodu 3 v metrickém smyslu totožné s 1-okolím bodu 3 podle definice pro reálná čísla.
Ve všech níže uvedených případech, kdy definujeme ε-okolí, platí, že množina A je okolím bodu x, pokud obsahuje jeho ε-okolí pro nějaké ε > 0. Například interval (2. +more9 , 3. 1) je 0. 1-okolím bodu 3, a tedy je jeho okolím.
Topologický prostor se od ostatních případů odlišuje tím, že na něm lze definovat okolí, ovšem nikoli ε-okolí.
Definice
ε-okolí reálného bodu
\varepsilon-okolím reálného bodu x je pro \varepsilon>0 otevřený interval (x-\varepsilon,x+\varepsilon). Prstencové \varepsilon-okolí bodu x je pak okolí, které neobsahuje bod x, tedy sjednocení intervalů (x - \varepsilon, x) \cup (x, x + \varepsilon). +more Pojem okolí a \varepsilon-okolí je možno zobecnit na rozšířená reálná čísla, což podstatně zjednoduší definice limity funkce pro různé případy (vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě).
ε-okolí komplexního bodu
\varepsilon-okolím komplexního bodu z_0 označujeme všechny body z komplexní roviny, pro které platí |z - z_0 | , tzn. body ležící na komplexní rovině uvnitř kružnice se středem v bodě z_0 a poloměrem \varepsilon.
ε-okolí v metrických prostorech
V metrickém prostoru X s metrikou \rho zavádíme \varepsilon-okolí bodu x jako sférické okolí (kouli) o poloměru \varepsilon následovně: U_{\varepsilon}(x)=\{y\in X:\rho(x, y).
U-okolí v topologických prostorech
Podmnožinu U topologického prostoru (X, \tau) nazveme okolím bodu x, pokud existuje prvek topologie O \in \tau takový, že x \in O a platí O \sub U. Okolí bodu x značíme U(x).
Protože vnitřek množiny je její největší otevřená podmnožina, je množina U(x) okolí bodu x právě tehdy, když x leží v jejím vnitřku.