Optimalizace (matematika)

Matematická úloha optimalizace je snahou o nalezení takových hodnot proměnných, pro které daná cílová či účelová funkce nabývá minimální nebo maximální hodnoty. Mnoho teoretických úloh i úloh z reálného světa vede na řešení úlohy optimalizace. Často se vyskytuje při modelování fyzikálních jevů, kde cílová funkce f má význam energie fyzikálního systému, která má v rovnovážném stavu systému být minimální.

Optimalizace představuje teoretický základ pro operační výzkum.

Definice

Je-li cílová funkce f : A \to \R, pak v úloze minimalizace hledáme takové x_0 \in A, že f(x_0) \le f(x) pro všechna x \in A. V úloze maximalizace naopak hledáme takové x_0 \in A, že f(x_0) \ge f(x) pro všechna x \in A. +more Množina A se nazývá přípustnou množinou.

Přípustná množina často bývá podmnožinou eukleidovského prostoru \R^n, vydělenou omezujícími podmínkami ve formě rovností či nerovností.

Nalezený prvek x_0 je nazýván optimálním řešením. Pro obecnou úlohu optimalizace nemusí být jednoznačný.

Matematické programování

Úloha optimalizace je někdy nazývána též úlohou matematického programování (tento termín nemá přímý vztah k programování):

* lineární programování * nelineární programování * celočíselné programování * parametrické programování * konvexní programování * kvadratické programování * dynamické programování * vícekriteriální programování

Dále existují: * stochastické programování * infinitní programování * semi-infinitní programování * semi-definitní programování

Algoritmy matematického programování: * Simplexový algoritmus * Metoda větví a mezí * Gradientní sestup * Gradientní algoritmus * Algoritmus zpětného šíření chyby

Optimalizační úlohu někdy pomáhají řešit tzv. podmínky optimality.

Literatura

Miroslav Maňas: Optimalizační metody, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1979, 1. vydání.

Externí odkazy

http://www.uai.fme.vutbr.cz/~jdvorak/vyuka/tsoa/tsoa.htm * https://web.archive.org/web/20090131041525/http://home.eunet.cz/berka/o/

Kategorie:Matematické problémy