Cesko.wiki Ortonormalita
Author
Albert FloresOrtonormalita je v matematice termín, který označuje určitý typ normalizace vektorů. V orthonormálním systému jsou jednotlivé vektory mezi sebou kolmé a mají délku rovnou jedné. Tato vlastnost je velmi užitečná při vyšetřování vlastností lineárních prostorů a při práci s maticemi. Ortonormální systém je také základem pro konstrukci ortonormálních bází, které se často používají při řešení lineárních rovnic a transformací. V článku jsou popsány základní definice a vlastnosti ortonormálních systémů a jejich aplikace v matematice a fyzice.
V lineární algebře, dva vektory v a w v prostoru s definovaným skalárním součinem jsou ortonormální, pokud jsou ortogonální a mají jednotkovou délku, tedy platí: :\langle v | w \rangle = 0 a zároveň \| v \| = \| w \| = 1.
Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortonormální se nazývá ortonormální báze. Dá se najít například Gram-Schmidtovou ortogonalizací - nově vytvořený ortogonální vektor vydělíme jeho normou, čímž se změní pouze jeho délka, ne však směr.
Pokud je Z = (v_1, \dots, v_n) ortonormální bází vektorového prostoru \mathcal{V}, potom: * \forall u \in \mathcal{V}: u = \sum^{n}_{i=1} \langle u|v_i\rangle v_i . (koeficientům se někdy říká Fourierovy - souvislost s diskrétní Fourierovou transformací) * \forall u,w \in \mathcal{V}: \langle u | w \rangle = [w]^\mathrm{H}_Z [u]_Z (Parsevalova rovnost).
Nejpoužívanější ortonormální bázi (někdy se označuje jako kanonická) používá kartézská soustava souřadnic - je tvořená vektory (1,0,\dots,0), (0,1,0,\dots,0), \dots, (0,\dots,0,1).