Cesko.wiki Ortonormální báze
Author
Albert FloresOrtonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové.
Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.
Prostor konečné dimenze
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním součinem \langle \cdot, \cdot \rangle indukující normu \|\cdot\|. Pod ortonormální bází prostoru V pak rozumíme bázi B = \{b_1,\ldots,b_n\}:
* \|b_i\| = 1 pro i\in\{1,\ldots,n\}, * \langle b_i, b_j \rangle = 0 pro i \neq j, kde i,j \in\{1,\ldots,n\}.
Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází vektorového prostoru \mathbb{R}^3:
:\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.
Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.
Obecný případ
V obecném případě unitárního prostoru V nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem S ve V takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve V .
Úplný ortonormální systém S má proto tu vlastnost, že pro každý prvek v \in V můžeme psát Fourierův rozvoj: :v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u .
Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek v nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z S ), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z S , tedy jako nekonečnou řadu. +more Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru V , leží ale hustě v tomto prostoru.