Cesko.wiki Paralelní přenos (geometrie)
Author
Albert FloresParalelní přenos v geometrii je základním geometrickým transformačním prvkem, který posouvá objekt od jednoho místa k jinému v rovině. Paralelní přenos uchovává tvar, velikost i orientaci objektu. Při paralelním přenosu je používána vektorová reprezentace, která zahrnuje směr a délku posunutí. V článku jsou popsány základní vlastnosti paralelního přenosu a způsoby jeho reprezentace. Každý objekt, který je přenášen, je označen jako vektorový posunutý objekt. V článku jsou také popsány geometrické operace spojené s paralelním přenosem, jako je sčítání a odečítání posunů. Dále článek uvádí příklady aplikací paralelního přenosu v geometrii, například při konstrukci rovnoběžníků, pravoúhelníků a dalších útvarů. Paralelní přenos se také využívá při řešení úloh, jako je výpočet vzdálenosti mezi dvěma body či určení bodu ve vzdálenosti od daného bodu v daném směru. Celkově je článek Paralelní přenos (geometrie) podrobným průvodcem touto základní geometrickou operací a poskytuje relevantní informace pro studium a pochopení paralelního přenosu v rovině.
Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).
Odvození
Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako \lambda. V jednom z těchto bodů mějme vektor V'^\alpha (index \alphaoznačuje jeho složky). +more Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme V'^\alpha přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky.
\frac{\mathrm{d} V'^\alpha}{\mathrm{d} \lambda} = 0 .
Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme u. Z definice platí pro jeho složky
u^\beta = \frac{\mathrm{d} \xi^\beta}{\mathrm{d}\lambda},
kde \xi^\beta značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne
\frac{\mathrm{d}V^\alpha}{\mathrm{d}\lambda} = \frac{\partial V^\alpha}{\partial \xi^\beta} \frac{\mathrm{d} \xi^\beta}{\mathrm{d}\lambda} = {V^\alpha}_{,\beta} u^\beta = 0
(zde symbol {,\beta} znamená derivaci podle souřadnice).
Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích x, pak transformace vektoru V'(\xi) na V(x) je dána vztahem
V'^\alpha = \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu} V^\mu
Po dosazení do první rovnice dostaneme
\frac{\mathrm{d} V'^\alpha}{\mathrm{d} \lambda} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left( \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu} V^\mu \right) = \frac{\partial^2 \xi^\alpha}{\partial x^\sigma \partial x^\mu} \frac{\mathrm{d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda} V^\mu + \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} = 0 .
Přeznačením indexů u prvního výrazu z \mu na \nu a vynásobením \frac{\partial x^\mu}{\partial \xi^\alpha} přejde rovnice na
\frac{\partial x^\mu}{\partial \xi^\alpha}\frac{\partial^2 \xi^\alpha}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} \frac{\mathrm{d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda} V^\nu + \frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} = 0 ,
což lze také zapsat jako
\frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} + {\Gamma^\mu}_{\sigma\nu} u^\sigma V^\nu = 0 ,
kde {\Gamma^\mu}_{\sigma\nu} jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.
Rovnice geodetiky
Rovnici paralelního přenosu
\frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} + {\Gamma^\mu}_{\sigma\nu} u^\sigma V^\nu = 0
lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako
\frac{\mathrm{D} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} = 0 nebo {V^\mu}_{;\alpha} = 0 .
Pokud přenášíme rovnoběžný vektor
V^\mu = u^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} ,
dostaneme rovnici geodetiky
\frac{\mathrm{D}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2} = \frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2} + {\Gamma^\mu}_{\sigma\nu} u^\sigma u^\nu = 0 .