Cesko.wiki Perfektní mocnina
Author
Albert FloresPerfektní mocnina je matematický pojem, který označuje číslo, které je umocněno na určitou přirozenou mocninu. Často se používá pro pojmenování čísel, která jsou umocněna na druhou. Perfektní mocniny mají speciální vlastnosti a často se objevují v matematických a fyzikálních souvislostech. Například čtverec čísla je jeho perfektní mocnina. Perfektní mocniny mají také zajímavé vlastnosti, které umožňují provádět různé matematické manipulace. V článku jsou dále obsaženy další informace o vlastnostech a aplikacích perfektních mocnin v matematice a fyzice.
Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.
Formální definice: n\,\! je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla m > 1\,\!, a k > 1\,\!, pro která platí, že m^k = n\,\!.
Příklady a součty
Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad: : 2^2 = 4,\, 2^3 = 8,\, 3^2 = 9,\, 2^4 = 16,\, 4^2 = 16,\, 5^2 = 25,\, 3^3 = 27,\, 2^5 = 32,\, 6^2 = 36,\, 7^2 = 49,\, 2^6 = 64,\, 4^3 = 64,\, 8^2 = 64,\, \dots
Vlastnosti
Součet
Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1: :\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1.
Důkaz: :\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right) =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)} =\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 \, .
Goldbachova-Eulerova věta
Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet \frac{1}{p-1} přes množinu perfektních mocnin p\,\!, vyjma čísla 1 je 1:
:\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.
Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.
Hledání celočíselných mocnin
Zjištění, zda n je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty k přes všechny dělitele n, až do k\, \leq \, \log_2 n. +more Jestliže tedy dělitelé n jsou n_1,\, n_2,\, \dots,\, n_j pak jedna z hodnot n_1^2,\, n_2^2,\, \dots,\, n_j^2,\, n_1^3,\, n_2^3\, \dots musí být rovna n jestliže n je mocnina.
Tato metoda může být zjednodušena pokud k hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud n\, =\, m^k pro složené číslo k\, =\, ap kde p je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako n\, =\, m^k\, =\, m^{ap}\, =\, (m^a)^p. +more Minimální hodnota k je 2.