Potenční množina

Hasseův diagram potenční množiny ke trojprvkové množině {x, y, z}. Potenční množina množiny X \,\! (značí se \mathcal{P}(X) \,\! nebo též 2^X \,\! ), podle některých autorů též booleán \mathcal{B}(X) \,\! , je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny X \,\! .

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Každá podmnožina potenční množiny \mathcal{P}(X) \,\! se nazývá systém množin na množině X.

Příklad

A = \{ 1,2,3 \} \,\! * \mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\!

Vlastnosti

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.

(\forall X)( \emptyset \isin \mathcal{P}(X)) \,\!

Potenční množina množiny X \,\! obsahuje X \,\! jako svůj prvek, tj.

(\forall X)(X \isin \mathcal{P}(X)) \,\!

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ \subseteq \,\. . +more Toto uspořádání není lineární - například množiny \{ 1,3 \} \,\. a \{ 2,3 \} \,\. z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny

Pokud je X \,\. konečná množina a její mohutnost je |X| = n \,\. +more , pak mohutnost její potenční množiny je |\mathcal{P}(X)| = 2^n \,\. . To lze odvodit například takto. Nechť množina M_n = \left \{ k \; |\; \forall k \in \mathbb{N}, k \leq n \right \}. Potenční množina množiny M_n je množina, pro kterou očividně platí rekurentní vztah \mathcal{P}(M_{n}) = \mathcal{P}(M_{n-1} \cup \left \{ n \right \}) = \mathcal{P}(M_{n-1}) \cup \left \{ \left \{ n \right \} \cup p\; | \; \forall p \in \mathcal{P}(M_{n-1})\right \} . S použitím matematické indukce lze dojít k závěru, že spojujeme dvě stejně mohutné množiny, tj. mohutnost nové potenční množiny je 2^{n-1} + 2^{n-1} = 2^{n} . * Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost \mathcal{P}(X) \,\. je ostře větší, než mohutnost X \,\. . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \,\. je ostře větší, než mohutnost \mathcal{P}(X) \,\. atd.

Potenční množiny v modelech teorie množin

Axiom teorie množin vyžaduje, aby soubor podmnožin nějaké množiny byl množinou, protože ale model nemusí obsahovat všechny možné podmnožiny, liší se v různých modelech i potenční množina nějaké množiny, a to i velikostí, X a \mathcal{P}(X) dokonce mohou mít při pohledu zvenku stejnou mohutnost (v modelu plati podle Cantorovy věty X \prec \mathcal{P}(X), což ovšem pouze znamená, že uvnitř modelu neexistuje mezi oběma množinami bijekce, tj. zmíněná bijekce není součástí uvažovaného modelu). +more Příkladem takového "omezeného" modelu je Gödelova konstrukce konstruovatelných množin.

Odkazy

Reference

Související články

Axiom potenční množiny * Potenční algebra * Filtr * Svaz

Externí odkazy

Kategorie:Teorie množin