Pravá anomálie

Pravá anomálie bodu P je úhel f. C je střed elipsy, F je ohnisko. Pravá anomálie je v nebeské mechanice úhlový parametr určující pozici tělesa, které se pohybuje po keplerovské dráze. Je to úhel mezi směrem periapsidy a okamžitou pozicí tělesa, měřený z hlavního ohniska elipsy (tj. bodu, okolo kterého těleso obíhá).

Pravá anomálie se obvykle značí řeckým písmenem (ný), (theta) nebo latinským písmenem , a obvykle se uvádí v intervalu 0-360° (0-2π rad).

Pravá anomálie je jedním ze tří úhlových parametrů (anomálií), kterými lze definovat pozici tělesa na oběžné dráze; dalšími je excentrická anomálie E a střední anomálie M.

Vzorce

Ze stavových vektorů

Pro eliptické oběžné dráhy lze pravou anomálii vypočítat z orbitálního stavového vektoru pomocí vzorce:

: \nu = \arccos { {\mathbf{e} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |} }} ::(je-li r ⋅ v < 0, použijeme 2π − místo )

kde: * v je vektor rychlosti obíhajícího tělesa, * e je vektor výstřednosti, * r je polohový vektor (úsečka FP na obrázku) obíhajícího tělesa.

Kruhová oběžná dráha

Pro kruhové oběžné dráhy není pravá anomálie definovaná, protože u kruhové dráhy nelze určit periapsidu. Místo pravé anomálie se používá argument šířky u:

: u = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |r \right |} }} ::(je-li rz z je z-ová složka polohového vektoru r

Kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem

Pokud má kruhová oběžná dráha nulový sklon, není definován ani argument šířky, protože nelze určit ani polohu uzlů dráhy. Místo toho používáme pravou délku:

: l = \arccos { r_x \over { \mathbf{\left |r \right |}}} ::(pro vx > 0 je třeba místo použít 2π − )

kde: * rx je x-ová složka polohového vektoru r * vx je x-ová složka vektoru rychlosti v.

Z excentrické anomálie

Vztah mezi pravou anomálií a excentrickou anomálií E je:

:\cos{\nu} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cos{E}}}

nebo pomocí sinu a tečny:

:\begin{align} \sin{\nu} &= {{\sqrt{1 - e^2\,} \sin{E}} \over {1 - e \cos{E}}} \\[4pt] \operatorname{tg}{\nu} = {{\sin{\nu}} \over {\cos{\nu}}} &= {{\sqrt{1 - e^2\,} \sin{E}} \over {\cos{E} -e}} \end{align}

nebo ekvivalentně:

:\operatorname{tg}{\nu \over 2} = \sqrt{{{1 + e\,} \over {1-e\,}}} \operatorname{tg}{E \over 2}

tedy

:\nu = 2 \, \operatorname{arctan}\left(\, \sqrt{{{1 + e\,} \over {1 - e\,}}} \operatorname{tg}{E \over 2} \, \right)

Broucke a Cefola uvádějí alternativní tvar této rovnice, který se vyhýbá numerickým problémům pro argumenty blízko \pm\pi, kdy obě tangenty rostou nade všechny meze. Díky tomu, že \frac{E}{2} a \frac{\nu}{2} jsou vždy ve stejném kvadrantu, nebudou žádné problémy se znaménky.

:\operatorname{tg}{\frac{1}{2}(\nu - E)} = \frac{\beta\sin{E}}{1 - \beta\cos{E}} kde \beta = \frac{e}{1 + \sqrt{1 - e^2}}

tedy :\nu = E + 2\operatorname{arctan}\left(\,\frac{\beta\sin{E}}{1 - \beta\cos{E}}\,\right)

Ze střední anomálie

Pravou anomálii lze spočítat přímo ze střední anomálie M Fourierovým rozvojem:

:\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^

k+n

\right] \sin{kM} kde J_n jsou Besselovy funkce a parametr \beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}.

Zanedbáním všech členů od řádu e^4 (což je indikováno členem \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)), lze zapsat jako

:\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).

Tato aproximace se kvůli přesnosti obvykle používá pouze pro oběžné dráhy s malou výstředností e.

Výraz \nu - M je znám jako rovnice středu, které je věnován samostatný článek s více detaily.

Poloměr z pravé anomálie

Poloměr (vzdálenost mezi ohniskem přitažlivosti a obíhajícím tělesem) je spojený s pravou anomálií vztahem

:r = a\,{1 - e^2 \over 1 + e \cos\nu}\,\!

kde a je velká poloosa oběžné dráhy.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Keplerovy zákony * Excentrická anomálie * Střední anomálie * Elipsa * Hyperbola

Externí odkazy

[url=https://www. faa. +moregov/about/office_org/headquarters_offices/avs/offices/aam/cami/library/online_libraries/aerospace_medicine/tutorial/media/III. 4. 1. 4_Describing_Orbits. pdf]Federal Aviation Administration - Describing Orbits[/url].

Kategorie:Oběžná dráha