Pseudoinverze matice

Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice \mathbf{A} je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Mooreovou-Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí \mathbf{A}^{+}.

Mooreova-Penroseova pseudoinverze

Definice

Mooreovou-Penroseovou pseudoinverzí matice \mathbf{A} nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic

: (1) \mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A}, : (2) \mathbf{X}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{X}, : (3) (\mathbf{A}\mathbf{X})^T = \mathbf{A}\mathbf{X}, : (4) (\mathbf{X}\mathbf{A})^T = \mathbf{X}\mathbf{A},

tzv. Mooreových-Penroseových podmínek. +more Mooreovu-Penroseovu pseudoinverzi značíme \mathbf{A}^{+}. (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně. ).

Výpočet, alternativní definice

Nechť \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}, \mathrm{rank}(\mathbf{A})=r. Uvažujme singulární rozklad

:\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T=[\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r&0\\\hline0&0\end{array}\right][\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]^T = \mathbf{U}_r\mathbf{\Sigma}_r\mathbf{V}_r^T,

kde

: \mathbf{U}^{-1}=\mathbf{U}^T,\;\mathbf{V}^{-1}=\mathbf{V}^T,\;\mathbf{\Sigma}_r=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r),\;\sigma_1\geq\ldots\geq\sigma_r>0,

pak

:\mathbf{A}^+= \mathbf{V}_r\mathbf{\Sigma}_r^{-1}\mathbf{U}_r^T.

Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.

Vlastnosti

Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení \mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m a provedeme-li jeho restrikci na [\mathcal{N}(\mathbf{A})]^\perp\equiv\mathcal{R}(\mathbf{V}_r)\longrightarrow\mathcal{R}(\mathbf{A})\equiv\mathcal{R}(\mathbf{U}_r), kde je bijektivní, pak Mooreova-Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.

Má-li matice \mathbf{A} lineárně nezávislé sloupce, pak \mathbf{A}^T\mathbf{A} je regulární a

: \mathbf{A}^+ = (\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T,

má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak \mathbf{A}\mathbf{A}^T je regulární a

: \mathbf{A}^+ = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^{-1}.

Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak

: \mathbf{A}^+ = \mathbf{A}^{-1}.

Využití

Uvažujme lineární aproximační problém

: \mathbf{A}\mathbf{X}\approx \mathbf{B}, \qquad \text{kde} \qquad \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}, \; \mathrm{rank}(\mathbf{A})=r, \; \mathbf{X}\in\mathbb{R}^{n\times d}, \; \mathbf{B}\in\mathbb{R}^{m\times d},

pak

: \mathbf{X}_{LS}\equiv\mathbf{A}^+\mathbf{B}

je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice \mathbf{A} lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,

: \min_{\mathbf{X}}\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\mathbf{X}\|_F=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\mathbf{X}_{LS}\|_F,

navíc \mathbf{X}_{LS} má minimální normu mezi všemi \mathbf{X}, které výraz vlevo minimalizují.

Další zobecněné inverze odvozené od Mooreových-Penroseových podmínek

Uvažujme Mooreovy-Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. +more Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:.

* (1)-inverze, značíme \mathbf{A}^{(1)}, * (1,2)-inverze, značíme \mathbf{A}^{(1,2)}, * (1,2,3)-inverze, značíme \mathbf{A}^{(1,2,3)}, * (1,2,4)-inverze, značíme \mathbf{A}^{(1,2,4)}, * (1,2,3,4)-inverze, značíme \mathbf{A}^{(1,2,3,4)}\equiv\mathbf{A}^+.

Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice \mathbf{A}, pak platí

: \mathbf{A}^{(1)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline\mathbf{L}&\mathbf{M}\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T,

pro libovolné matice \mathbf{K}\in\mathbb{R}^{r\times(m-r)}, \mathbf{L}\in\mathbb{R}^{(n-r)\times r}, \mathbf{M}\in\mathbb{R}^{(n-r)\times(m-r)}.

(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí \mathbf{M}=\mathbf{L}\mathbf{\Sigma}\mathbf{K}.

: \mathbf{A}^{(1,2)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline\mathbf{L}&\mathbf{L}\mathbf{\Sigma}\mathbf{K}\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T,

(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou \mathbf{K}=0, tedy

: \mathbf{A}^{(1,2,3)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&0\\\hline\mathbf{L}&0\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T.

(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou \mathbf{L}=0, tedy

: \mathbf{A}^{(1,2,3)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline0&0\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T.

(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Mooreova-Penroseova pseudoinverze.

V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.

Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverze

Je-li navíc matice \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n} čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například

: (1k) \mathbf{A}^k\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A}^k, : (5) \mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{A}, : (5k) \mathbf{A}^k\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{A}^k, : (6k) \mathbf{A}\mathbf{X}^k = \mathbf{X}^k\mathbf{A}.

Drazinova inverze

Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám

: \mathbf{A}^{k+1}\mathbf{X}=\mathbf{A}^k,\quad \mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{X}\mathbf{A},\quad \mathbf{A}\mathbf{X}^2=\mathbf{X}.

Grupová inverze

Drazinova inverze pro k=1, tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se \mathbf{A}^{\#}.

Spektrální inverze

Je-li čtvercová singulární matice \mathbf{A} diagonalizovatelná, tj. \mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}, kde \mathbf{\Lambda}=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_r,0,\ldots,0) je diagonální s vlastními čísly na diagonále. +more Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu.

: \mathbf{X}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}^+\mathbf{P}^{-1}, \qquad \text{kde}\qquad \mathbf{\Lambda}^+=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\lambda_1},\ldots\frac{1}{\lambda_r},0,\ldots,0\right).

Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.

Je-li navíc matice \mathbf{A} normální, tj. \mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{A}^T, \mathbf{P}^{-1}=\mathbf{P}^T pak její spektrální inverze a Mooreova-Penroseova pseudoinverze splývají.

Literatura

Adi Ben-Israel, Thomas N. E. +more Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition). * M. Zuhair Nashed (Ed. ), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.

Související články

Matice * Inverzní matice * Transponovaná matice * Metoda nejmenších čtverců

Externí odkazy

[url=http://mathworld.wolfram.com/Moore-PenroseMatrixInverse.html]Moore-Penrose Inverse[/url]

Kategorie:Teorie matic