Cesko.wiki Pětiúhelník
Author
Albert FloresPětiúhelník je geometrický tvar, který má pět stran, pět vrcholů a pět úhlů. Každé dva sousední vrcholy jsou spojeny jednou stranou. Pětiúhelník se liší od čtverce, trojúhelníka nebo jiných polygonů svým tvarem. Má několik zajímavých vlastností, například součet všech úhlů v pětiúhelníku je 540 stupňů. Existuje několik způsobů, jak lze pětiúhelník konstruovat, například pomocí kružítka a pravítka nebo pomocí stránek a úhlů. Pětiúhelník hraje také důležitou roli v matematice, zejména v geometrii. Je také často používán ve vizuálním umění, například v uměleckých dekorech nebo v logu některých firem.
{{Infobox - mnohoúhelník | název = Pravidelný pětiúhelník | obrázek = Regular polygon 5 annotated.svg | obsah = S = \frac {\sqrt {25+10 \sqrt{5}}}{4}a^{2} | opsaná = r = \frac{\sqrt {50+10 \sqrt{5}}}{10}a | vepsaná = \rho = \frac{\sqrt {25+10 \sqrt{5}}}{10}a | úhel = 108 | úhlopříčka = l_{u} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}a (zlatý řez) }} Pětiúhelník (pentagon) je rovinný obrazec, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).
Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost \frac{3\pi}{10} a při vrcholu \frac{2\pi}{5}.
Vlastnosti
Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu: * poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu * jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu
Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru
:1:(1-\frac{\sqrt{5}-1}{2})=1:\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.
Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je: :\begin{align} S &= \frac{{ \sqrt {25 + 10\sqrt 5} }}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})}}{4} \cdot a^2 = \frac{5a^2 \tan 54^\circ}{4} \approx 1.720~a^2 \end{align}
Historie
Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. +more Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.
Konstrukce
Pentagon je jední z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.
Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.
Pětiúhelník v soustavě souřadnic
Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu S [x_0; y_0], obdržíme při poloměru kružnice opsané k a natočení vrcholu nejbližšího ose x v jejím kladném směru o úhel \omega oproti této ose následující souřadnice vrcholů:
| x | y | |
|---|---|---|
| X_1 | x_0 + k \cdot \cos \omega \,\. | y_0 + k \cdot \sin \omega \,\. +more |
| X_2 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\. | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\. |
| X_3 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{4\pi}{5}) \,\. | y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{4\pi}{5}) \,\. |
| X_4 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{6\pi}{5}) \,\. | y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{6\pi}{5}) \,\. |
| X_5 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{8\pi}{5}) \,\. | y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{8\pi}{5}) \,\. |
Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:
| x | y | |
|---|---|---|
| Y_1 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} |
| Y_2 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} |
| Y_3 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} |
| Y_4 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} |
| Y_5 | x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} | y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} |
Související články
Externí odkazy
[url=http://technet.idnes.cz/vedci-objevili-novy-petiuhelnik-dah-/veda.aspx?c=A150812_181638_veda_pka]Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let[/url]