Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy x a třetí souřadnice (označovaná \theta) úhel mezi průvodičem a osou z.

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

:x = r \sin{\theta}\cos{\varphi}

:y = r \sin{\theta}\sin{\varphi}

:z = r \cos{\theta}\,

Převod kartézských souřadnic na sférické:

:r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},

:\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),

:\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu 0\leq\theta\leq\pi a 0\leq\varphi.

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

J= r^2 \sin \theta

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

:\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

:\mathrm{d}V=r^2 \sin\theta\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

Kategorie:Soustavy souřadnic

Pallokoordinaatisto Il sistema sferico