Součinová topologie

Součinová topologie je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie.

Definice

Nechť X_1, X_2 jsou dva topologické prostory. Součinová topologie na kartézském součinu X_1\times X_2 je systém otevřených množin generovaný všemi množinami p_i^{-1}(U), kde U je otevřená množina v X_i a p_i: X_1 \times X_2 \to X_i definované p_i(x_1,x_2):=x_i, i=1, 2, jsou (přirozené) projekce. +more Podobně se definuje součinová topologie na libovolném součinů topologických prostorů (i nespočetném).

Příklad

Součinová topologie na \mathbb{R}^n a \mathbb{R}^m uvažovaných s metrickou topologií je shodná s metrickou topologií na \mathbb{R}^{n+m}.

Tvrzení

1. Následující definice je ekvivalentní s definicí součinové topologie:

Součinová topologie je nejhrubší topologie na X_1 \times X_2, že projekce p_i jsou spojité pro i\in\{1, 2\}.

2. Součinová toplogie splňuje univerzální vlastnost, tj. kategorie topologických prostorů je kategorií se součinem.

Poznámka

Součinovou topologii lze definovat pro větší počet kartézsky násobených topologických prostorů. Na takovémto součinu lze zavést více přirozených součinových topologií, které však s výše uvedenou nemusejí obecně splývat.

Kategorie:Topologie Kategorie:Binární operace