Stejnoměrně spojitá funkce

Graf stejnoměrně spojité funkce Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ lze říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice

Nechť (\mathcal{X}, \rho) a (\mathcal{Y}, \sigma) jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud \forall \varepsilon \ \exists \delta tak, že \forall x,y \in X: \rho(x,y) platí \sigma(f(x),f(y))

Pokud X a Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud \forall \varepsilon \ \exists \delta tak, že \forall x,y \in X: |x-y| platí |f(x)-f(y)|

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota \delta závisí pouze na velikosti \epsilon, a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnosti

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rn, n\in \mathbb{N}. +more Funkce ƒ : A → Rm, m\in \mathbb{N} je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností xn a yn splňujících: :\lim_{n\to\infty} |x_n-y_n|=0\, platí: :\lim_{n\to\infty} |f(x_n)-f(y_n)|=0. \,.

Příklady

Funkce x \scriptstyle\mapsto kx,\ k\in\mathbb{R} je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose. * Exponenciální funkce x \scriptstyle\mapsto\, ex je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá. +more * Nechť (\mathcal{X}, \rho) je metrický prostor. Pak \rho:X\times X \to \mathbb{R} je stejnoměrně spojitá funkce.

Vlastnosti

Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. +more Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální. * Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá. * Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá. * Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá. * Pokud je reálná funkce f spojitá na intervalu [0, \infty) a existuje vlastní \lim_{x \to \infty} f(x), pak je funkce stejnoměrně spojitá na [0, \infty). * Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.

Externí odkazy

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí