Subdeterminant

Subdeterminant je determinant submatice. Speciálním případem subdeterminantu je algebraický doplněk. Algebraické doplňky umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce a prostřednictvím adjungované matice umožňují nalezení inverzní matice.

Submatice

Submatice je matice, která vznikne z dané matice odstraněním vybraných řádků a sloupců. Matice tvořená zbylými řádky a sloupci se nazývá doplňková submatice.

Subdeterminant (minor)

Je-li submatice čtvercová, má smysl její determinant. Tento determinant se nazývá subdeterminant nebo minor. Počet řádků submatice je řádem subdeterminantu.

Je-li \mathbf{A} čtvercová matice n-tého řádu, potom subdeterminant (n-1)-ního řádu, který je determinantem submatice vytvořené z matice \mathbf{A} odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku a_{ij} matice \mathbf{A}.

Algebraický doplněk

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku a_{ij} čtvercové matice \mathbf{A}nazýváme číslo A_{ij} = {(-1)}^{i + j} {\det \mathbf{A}_{ij}},kde \det \mathbf{A}_{ij} je subdeterminant (minor) příslušný k prvku a_{ij} matice \mathbf{A}. Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. +more Adjungovaná matice se liší od inverzní matice jenom násobkem determinantem. Více viz hesla adjungovaná matice a inverzní matice.

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index i lze determinant matice \mathbf{A} vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků, tj. +more jako\det \mathbf{A} = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij},kde n je řád matice (resp. determinantu). Tento vzorec se nazývá rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Protože transponovaná matice má stejný determinant jako matice původní, lze determinant vyjádřit i rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce vzorcem \det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}. Po aplikaci těchto vzorců se determinant rozpadne na několik determinantů řádu o jedničku nižšího a opakováním tohoto procesu můžeme dospět k determinantu prvního řádu, jehož výpočet je triviální.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných minorů sestavených z těchto řádků.

Rekurentní výpočet determinantu

V programování lze velmi dobře využít metodu rozvoje podle řádku nebo sloupce pro výpočet determinantů čtvercové matice libovolného rozměru za pomocí rekurze. Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou výpočetní náročnost rychle rostoucí s řádem determinantu.

Příklad kódu v jazyce Java:

public int determinant(int[][] m) { int n = m.length; if(n == 1) { return m[0][0]; } else { int det = 0; for(int j = 0; j

Reference

Související články

Matice * Adjungovaná matice * Inverzní matice * Determinant

Kategorie:Lineární algebra