Cesko.wiki Symetrická relace
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresSymetrická relace je v oboru matematiky binární relace, která je reflexivní a symetrická současně. Tato relace se vyskytuje ve velkém množství matematických a výpočetních problémů a má důležitou roli zejména v oblastech jako teorie grafů, algebra, teorie množin a kombinatorika. Symetrická relace je definována tak, že pokud dvojice prvků (a, b) patří do této relace, pak dvojice (b, a) také musí patřit do této relace. Jinými slovy, pokud je mezi dvěma prvky platná určitá vlastnost nebo vztah, pak je tato vlastnost nebo vztah vzájemně platný pro oba prvky. Symetrická relace se často využívá v matematických důkazech a definicích. Například symetrická relace je nutná k definici ekvivalence, která je základem mnoha větví matematiky. Dále se využívá například při studiu grafů, kde symetrické hrany reprezentují oboustranné vztahy mezi vrcholy. Symetrická relace má také zajímavé vlastnosti, které se často zkoumají. Například tzv. kompozice symetrických relací, která je opět symetrická. Taktéž tato relace tvoří tzv. ekvivalenční třídy, kde všechny elementy mají mezi sebou symetrickou relaci.
V matematice se binární relace R na množině X nazývá symetrická, pokud pro každé a a b z X platí, že pokud a je v relaci s b, je i b v relaci s a.
Formálně zapsáno:
:\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a
Například „být narozen ve stejný rok“ je symetrická relace, ale „je menší než“ není symetrická.
Kromě pojmu symetrická relace existuje i pojem antisymetrická relace, který má dvě podoby, slabou antisymetrii a silnou antisymetrii. V žádném případě se nejedná o prostý opak symetrických relací, například prázdná relace je zároveň symetrická, slabě antisymetrická i silně antisymetrická.
Symetrická relace, která je zároveň tranzitivní a reflexivní, se nazývá relace ekvivalence.
Kategorie:Teorie množin Kategorie:Symetrie Kategorie:Vlastnosti matematických relací