Symplektická grupa

Symplektická grupa je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry, Lieových grup a matematické teorie mechaniky.

Definice

Symplektická grupa je množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru V do sebe, které zachovávají nějakou nedegenerovanou antisymetrickou bilineární formu \omega. Tedy Sp(V,\omega)=\{A\in End(V), \forall \mathbf{v}, \mathbf{w}\quad \omega(\mathbf{v}, \mathbf{w})=\omega(A\mathbf{v}, A\mathbf{w})\}.

Pro různá \omega jsou grupy Sp(V,\omega) izomorfní, značí se tedy častěji jako Sp(V). Pokud je V reálný dimenze 2n, značíme příslušnou grupu Sp(2n,\mathbb{R}), pro komplexní V značíme Sp(2n,\mathbb{C}).

Kromě toho se obvykle definuje tzv. kvaternionická symplektická grupa Sp(n), která je definována jako množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru \mathbb{H}^n nad tělesem kvaternionů. +more Tato grupa je kompaktní a dá se reprezentovat pomocí komplexních matic dimenze 2n jako :Sp(n)=Sp(2n,\mathbb{C})\cap U(2n) kde U(2n) je unitární grupa. Kvaternionická symplektická grupa se někdy značí také USp(n).

Příklad

Pokud V je reálný vektorový prostor dimenze 2, je Sp(V) izomorfní SL(2,R), tzv. reálné unimodulární grupě. +more Odtud snadno plyne, že elementy Sp(V) v tomto případě jsou složení rotací, spc. zkosení a spc. dilatací, generující všechna lineární izovolumina.

Pro kvaternionickou symplektickou grupu dimenze 1 platí :Sp(1)\simeq SU(2)\simeq S^3 kde SU(2) je speciální unitární grupa a S^3 grupa jednotkových kvaternionů.

Tvrzení

Pokud V je komplexní nebo reálný vektorový dimenze 2n, je symplektická grupa Sp(V) nekompaktní souvislou Lieovou grupou komplexní nebo reálné dimenze n(2n+1) .

Pokud V je reálný, je první homotopická grupa Sp(V) izomorfní Z, tj. homotopického typu kružnice. Pokud V je komplexní, je Sp(V) jednoduše souvislá.

Pokud A in Sp(V), pak det(A) = 1. Pro V komplexní nebo reálný, je Sp(V) tzv. jednoduchá Lieova grupa.

Aplikace

Symplektická grupa Sp(V) je grupou všech lineárních kanonických transformací lib. Hamiltonova systému na V.

Symplektická grupa je užívána v teorii Eisensteinových řad.

Kategorie:Teorie Lieových grup