Tečný prostor

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor. Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Definice

Pokud M je hladká varieta a \mathcal{F}(M) značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na M, pak tečným prostorem T_x{}M variety M v bodě x\in{}M nazveme množinu všech funkcionálů W:\mathcal{F}(M)\rightarrow\mathbb{R} splňujících: # W(\alpha{}f+\beta{}g)=\alpha\,W(f)+\beta\,W(g),\quad{}W\in\alpha,\beta\in\mathbb{R}, f,g\in\mathcal{F}(M) # W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad{}f,g\in\mathcal{F}(M) Každý prvek T_x{}M nazveme tečným vektorem M v bodě x.

Vlastnosti

Lineární struktura

Definujeme-li na T_x{}M sčítání dvou prvků W,X\in{}T_x{}M, (W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad{}f\in\mathcal{F}(M) tvoří T_x{}M vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety M.

Tečný vektor v lokálních souřadnicích

Pokud máme na varietě M lokální systém souřadnic (\mathcal{O},y^i), x\in\mathcal{O}, můžeme tečný vektor W\in{}T_x{}M rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí \left(\partial/\partial{}y^i\right)_{i=1}^{\mathrm{dim}M}: W=\sum_{i=1}^{\mathrm{dim}M}W(y^i)\frac{\partial}{\partial{}y^i}|_x

Příklad

Obr. +more2: Tečný vektor křivky \gamma(t) v bodě x Jestliže \gamma(t):I\rightarrow{}M (I je otevřený interval v \mathbb{R}) je hladká křivka na varietě M procházející bodem x\in{}M v t=0, je zobrazení v:f\mapsto{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\circ\gamma)|_{t=0},\quad{}f\in\mathcal{F}(M), tečným vektorem variety M v bodě x a současně tečným vektorem křivky \gamma(t) v x.

Odkazy

Externí odkazy

Literatura

Fecko M. , Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006 * Krump L. +more, Souček V. , Těšínský J. A. : Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999 * Kowalski O. , Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995.

Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Topologie