Tečný vektor

Tečný vektor

Tečný vektor v bodě \mathbf{r}_0 křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem \mathbf{r}=\mathbf{r}(t) a která prochází bodem \mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0] dané křivky, je vektor :{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0 = \left[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0\right]. Jednotkovým tečným vektorem \mathbf{t} se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečného vektoru, tedy :\mathbf{t} = \frac{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \left( \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}\right)

Pokud je parametrem křivky oblouk s, pak platí :\mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru \mathbf{t} představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky.

Rovnici tečny ke křivce \mathbf{r}=\mathbf{r}(t) v bodě \mathbf{r}_0 lze zapsat jako :\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0} nebo ve vektorovém tvaru :\mathbf{R} = \mathbf{r}_0 + u{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0, kde \mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0] je bod dotyku tečny, \mathbf{R}=[X,Y,Z] jsou body tečné přímky, t je parametr křivky a u je parametr tečny.

Kategorie:Geometrie