Totální diferenciál

Totální diferenciál je v matematice diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných. Vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných směrem od daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu #Definice|definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, tak funkce v daném bodě má totální diferenciál nebo že je v daném bodě diferencovatelná.

Pokud v bodě \mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) existuje totální diferenciál funkce n proměnných y = f(x_1, \dots, x_n) = f(\mathbf{x}), pak je to lineární funkce : \mathrm{d}y = \frac{\partial y}{\partial x_1}\, \mathrm{d}x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\, \mathrm{d}x_n = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}, kde : \frac{\partial y}{\partial x_i} je parciální derivace funkce f podle x_i v bodě \mathbf{x}, : \nabla f(\mathbf{x}) = \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial y}{\partial x_n}\right) je gradient funkce f v bodě \mathbf{x}, : \mathrm{d}\mathbf{x} = (\mathrm{d}x_1, \dots, \mathrm{d}x_n) je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných : a symbol \cdot značí skalární součin.

Definice

Nechť f(\mathbf{x}) je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu \mathbf{x}. Totálním diferenciálem funkce f(\mathbf{x}) v bodě \mathbf{x} nazýváme lineární funkci \mathrm{d}f_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x}), s níž lze funkci f v okolí bodu \mathbf{x} aproximovat jako

::f(\mathbf{x} + \mathrm{d}\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \mathrm{d}f_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x}) + \varepsilon_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x})

tak, že pro chybu aproximace \varepsilon_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x}) platí

::\lim_{\mathrm{d}\mathbf{x} \to \mathbf{0}} \frac{\varepsilon_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x})}{\|\mathrm{d}\mathbf{x}\|} = 0.

Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar

::\mathrm{d}f_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\mathrm{d}x_i

a říkáme, že funkce f(\mathbf{x}) má v bodě \mathbf{x} totální diferenciál neboli že je v bodě \mathbf{x} diferencovatelná.

Podmínky a důsledky diferencovatelnosti

Jestliže má funkce f(\mathbf{x}) na jistém okolí bodu \mathbf{x} spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě \mathbf{x} totální diferenciál. * Jestliže má funkce f(\mathbf{x}) v bodě \mathbf{x} totální diferenciál, pak je v bodě \mathbf{x} spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.

Geometrický význam

Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat 2D funkci f(\vec{x})=\sqrt{27-x^2-y^2} a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu \vec{a}=(1,1). * Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit f(\vec{x})-f(\vec{a})=\sum_{i=1}^{r}{\alpha_{i}(x_{i}-a_{i})+\nu(\vec{x}-\vec{a})}. +more * Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci \nu(\vec{x}-\vec{a}) * \alpha_1=\frac{\partial f}{\partial x}(\vec{a})=-{\frac{x}{\sqrt{27-x^2-y^2}}}(1,1)=-{\frac{1}{5}}, \alpha_2=\frac{\partial f}{\partial y}(\vec{a})=-{\frac{y}{\sqrt{27-x^2-y^2}}}(1,1)=-{\frac{1}{5}}, f(\vec{a})=5 * Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení f(\vec{x}) na z dostaneme z-5=-{\frac{1}{5}}(x-1)-\frac{1}{5}(y-1) \sim z=\frac{27}{5}-{\frac{x}{5}}-{\frac{y}{5}} * Nyní se podívejme na grafy funkcí f(\vec{x}) a funkce z(\vec{x}) Graf č. 1 * Z grafu je vidět že geometrický význam totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci f(\vec{x}) v bodě \vec{a} * Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.

Literatura

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. .

Kategorie:Matematické funkce