Trigonometrie

Trigonometrie (z řeckého trigónon, trojúhelník a metrein, měřit) je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících. Trigonometrie se dělí na trigonometrii rovinnou a na trigonometrii sférickou (trigonometrie útvarů na kulové ploše). Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech. V angličtině se trigonometrie a goniometrie souhrnně označuje jako trigonometry.

Historie trigonometrie

Leonhard Euler, zakladatel moderní trigonometrie

První poznatky z trigonometrie lze prokázat již u Egypťanů. Podobné znalosti měli také Babyloňané a Chaldejci, od kterých převzali Řekové dnešní dělení plného úhlu na 360° a stupně na 60 minut. +more První práce o trigonometrii souvisely s problémem určení délky tětivy vzhledem k velikosti úhlu. První tabulky délek tětiv pocházejí od řeckého matematika Hipparcha z roku 140 př. n. l. , další tabulky sepsal zhruba o 40 let později Melenaus, řecký matematik žijící v Římě. Práce starořeckých vědců vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Megale syntaxis (Velká soustava), v níž Ptolemaios vypočítal tabulku délek tětiv kružnice, jež měla poloměr až 60 délkových jednotek a kde středový úhel, k němuž se délky vztahovaly, postupoval po 0,5°.

Od 5. +more století začali pak trigonometrii budovat Indové, od kterých pochází dnešní název pro sinus, a po nich vědci Střední Asie a Arabové. Z Indů se trigonometrii nejvíce věnoval Brahmagupta (7. století), z vědců Střední Asie a Arábie je pak třeba vzpomenout syrského astronoma al-Battáního.

Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji trigonometrie významně přispěl polský astronom Mikuláš Koperník, stejně tak i francouzský matematik François Viète, který představil kosinovou větu v trigonometrické podobě. +more Dnešní podobu trigonometrie jakožto vědu o goniometrických funkcích ve svém díle Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy) vytvořil Leonhard Euler. Poprvé zkoumal hodnoty sin x, cos x jako čísla, nikoli jako úsečky, a jako hodnoty proměnné připouštěl kladná i záporná čísla.

Trigonometrické věty a vzorce

Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: : \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

* Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: : a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha

* Tangentová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: : \frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{cotg}\, \frac{\gamma }{2}}

* Pro obsah každého trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, β, γ a se stranami a, b, c platí: : S=\frac{1}{2}ab\,\sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac\,\sin(\beta)=\frac{1}{2}bc\,\sin(\alpha)

* Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC platí: : r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}

Související články

Goniometrie * Goniometrická funkce

Externí odkazy

[url=http://www. karlin. +moremff. cuni. cz/~robova/stranky/motyckova/Stranky_s_aplety/index. html]Učebnice goniometrie a trigonometrie[/url] * [url=http://vedci. wz. cz/historie/16. htm]Historie trigonometrie[/url] * [url=http://mat. fsv. cvut. cz/lakoma/Vyuka/Sferickatrigonometrie03. doc]Sférická trigonometrie v kartografii a astronomii[/url] - ve formátu DOC (244 kB).

Kategorie:Goniometrie Kategorie:Trojúhelník