Variogram

V prostorové statistice je teoretický variogram 2\gamma(x,y) funkce popisující stupeň prostorové závislosti na prostorové náhodné proměnné nebo na stochastickém procesu. Je definován jako odchylka rozdílu mezi polem hodnot ve dvou různých místech (x a y) v celé dané realizaci. (Cressie 1993).

2\gamma(x,y)=\text{var}(Z(x) - Z(y)) = E\left(|(Z(x)-\mu(x))-(Z(y) - \mu(y))|^2\right) .

Jestliže prostorový náhodný prvek má konstantní průměr \mu, je to ekvivalent očekávání čtvercového nárůstu hodnot mezi lokalitou x a y (Wackenagel 2003) (kde x a y nejsou souřadnice, ale body v prostoru):

2\gamma(x,y)=E\left(|Z(x)-Z(y)|^2\right),

kde \gamma(x, y) samotná je nazývána semivariogram. V případě stacionárního procesu variogram a semivariogram může být prezentován jako funkce \gamma_s(h)=\gamma(0,0+h) rozdílu h=y-x mezi dvěma místy pouze tímto vztahem (Cressie 1993):

\gamma(x,y)=\gamma_s(y-x).

V případě že je navíc proces izotropní, poté může být variogram a semivariogram prezentován funkcí \gamma_i(h):=\gamma_s(h e_1) vzdálenosti h=\|y-x\| pouze (Cressie 1993):

\gamma(x,y)=\gamma_i(h).

Indexy i nebo s se většinou nepíší. Podmínky jsou používány pro všechny tři formy funkcí. +more Navíc, výraz "variogram" je občas používán pro označení semivariogramu, a \gamma je občas používána pro variogram, což může být matoucí.

Vlastnosti

Podle (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003), teoretický variogram má následující vlastnosti:

* Semivariogram není záporný \gamma(x,y)\geq 0, protože je druhou mocninou. * Semivariogram \gamma(x,x)=\gamma_i(0)=E\left((Z(x)-Z(x))^2\right)=0 ve vzdálenosti 0 je vždy 0, protože Z(x)-Z(x)=0. +more * Funkcí je semivariogram pouze tehdy if it is a conditionally negative definite function, i. e. for all weights w_1,\ldots,w_N subject to \sum_{i=1}^N w_i=0 a pozicí x_1,\ldots,x_N it holds: \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N w_{i}\gamma(x_i,x_j)w_j \leq 0.

což koresponduje s faktem, že rozdíl var(X) of X=\sum_{i=1}^N w_i Z(x_i) je dán záporem dvojnásobku sumy a musí být nezáporný * V důsledku toho může být semivariogram nesouvislý pouze na začátku. Výška posunutí na začátku je označována jako nugget nebo nugget effect * Jestliže kovarianční funkce stacionárního procesu existuje, je spojená s variogramem takto: 2\gamma(x,y)=C(x,x)+C(y,y)-2C(x,y)

Pro nestacionární proces musí být přidána mocnina rozdílu mezi očekávanými hodnotami v obou bodech:

2\gamma(x,y)=C(x,x)+C(y,y)-2C(x,y) + (E(Z(x))-E(Z(y)))^2 * Jestliže stacionární náhodné pole nemá žádnou prostorovou závislost (tj. C(h)=0 if h\not= 0, semivariogram je konstantní var(Z(x)) kdekoliv s výjimkou začátku kde je 0. +more * \gamma(x,y)=E(|Z(x)-Z(y)|^2)=\gamma(y,x) je symetrickou funkcí. * V důsledku je \gamma_s(h)=\gamma_s(-h) sudou funkcí. * Jestliže náhodné pole je stacionární a ergodic tak, \lim_{h\to \infty} \gamma_s(h) = var(Z(x)) koresponduje s variancí pole. Limita semivariogramu je také nazývána prahem.

Empirický variogram

Pro pozorování z_i,\;i=1,\ldots,k v místech x_1,\ldots,x_k je empirický variogram \hat{\gamma}(h) definován jako (Cressie 1993): \hat{\gamma}(h):=\frac{1}

N(h)

\sum_{(i,j)\in N(h)} |z_i-z_j|^2 kde N(h) značí soubor párů pozorování i,\;j jakými jsou |x_i-x_j| = h a |N(h)| je počet párů v souboru. (Všeobecně "aproximovaná vzdálenost" h se používá vykonáním jisté tolerance. +more).

Empirický variogram je použit v geostatistice jako první odhad (teoretického) variogramu potřebného pro prostorovou interpolaci krigingem. Podle (Cressie 1993) pro pozorování z_i=Z(x_i) ze stacionárního náhodného pole Z(x) je empirický variogram s lag tolerance 0 je nezaujatý odhace teoretického variogramu jelikož: E[\hat{\gamma}(h)]=\frac{1}{2|N(h)|}\sum_{(i,j)\in N(h)}E[|Z(x_i)-Z(x_j)|^2]=\frac{1}{2|N(h)|}\sum_{(i,j)\in N(h)}2\gamma(x_j-x_i)=\frac{2|N(h)|}{2|N(h)|}\gamma(h)

Parametry variogramu

Následující parametry jsou často použity k popsání variogramu: * nugget n: Velikost posunutí semivariogramu v jeho počátku. * sill s: Limita, také práh semivariogramu * range r: Rozsah ve kterém rozdíl variogramu přijde zanedbatelný V modelech s pevným prahem je to vzdálenost která je dosažena první. +more Pro modely s asymptotickým prahem, je to bráno jako vzdálenost, kde semivariance dosahuje 95 % prahu.

Modely variogramu

Empirický variogram nemůže být počítán pro každou lag vzdálenost h a vzhledem k rozdílům v odhadu není jisté že je správný, jak je definováno výše. Některé geostatistické metody jako je kriging potřebují správné semivariogramy. +more V aplikované geostatistice jsou empirické variogramy tudíž často upravovány podle modelu funkce zajišťující jejich správnost (Chiles&Delfiner 1999). Některé důležité modely (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993): * Exponenciální model \gamma(h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n 1_{(0,\infty)}(h) * Sférický model \gamma(h)=(s-n)\left(\left(\frac{3h}{2r}-\frac{h^3}{2r^3}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty)}(h)\right)+n1_{(0,\infty)}(h) * Gaussovský model \gamma(h)=(s-n)\left(1-\exp\left(-\frac{h^2}{r^2a}\right)\right) + n1_{(0,\infty)}(h) Parametr a má odlišné hodnoty v různých odkazech, díky nejednoznačnosti definice v rozsahu. Např. a=1/3 je hodnota použita v (Chiles&Delfiner 1999). 1_A(h) je 1 jestliže h\in A a 0 jindy.

Diskuze

Tři funkce jsou používány pro popsání prostorové nebo časové korelace pozorování: korelogram, kovariance a semivariogram. Poslední je také jednoduše nazýván variogramem. +more Variogram na rozdíl od semivariogramu ukazuje, kde je značný stupeň prostorové závislosti ve vzorku prostorové.

Variogram je klíčovou funkcí v geostatistice, stejně jako se používá pro "fitování" modelu časové nebo prostorové korelace pozorovaného jevu. Experimentální variogram je používán pro vizualizaci možné prostorové/časové korelace a variogramový model je používán k definování váhy krigingové funkce. +more Všimněte si, že experimentální variogram je empirický odhad kovariance Gaussovského procesu. Jako takový nemusí být přímo použitelný v krigingu bez omezení nebo dalšího zpracování. To vysvětluje proč je používán pouze omezený počet modelů variogramu: lineární, sférický, gaussovský a exponenciální.

Jestliže je variogram použit k popsání korelace rozdílných proměnných je nazývám křížový-variogram. Křížový variogram je používán v ko-krigingu. +more V případě, že proměnná je binární nebo reprezentuje třídy hodnot, poté mluvíme o indikátoru variogramu. Indikátor variogramu je používán v indikátor krigingu.

Reference

Literatura

Cressie, N. , 1993, Statistics for spatial data, Wiley Interscience * Chiles, J. +more P. , P. Delfiner, 1999, Geostatististics, Modelling Spatial Uncertainty, Wiley-Interscience * Wackernagel, H. , 2003, Multivariate Geostatistics, Springer * Burrough, P A and McDonnell, R A, 1998, Principles of Geographical Information Systems * Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers.

Externí odkazy

Kategorie:Geostatistika