Cesko.wiki Velké kardinály
Author
Albert FloresVelké kardinály či velká kardinální čísla je v teorii množin souhrnné označení pro kardinální čísla, jejichž existence je nezávislá na axiomech Zermelovy-Fraenkelovy teorie s axiomem výběru (ZFC). Existence či neexistence každého z těchto čísel má v ZF závažné důsledky týkající se zejména nekonečné kombinatoriky. Často však přijetí axiomu postulujícího existenci nějakého velkého kardinálu zásadně ovlivňuje vlastnosti o kardinálech malých (\alef_1, \alef_2, …).
Historie
Počátky studia velkých kardinálů sahají do poloviny 20. století, kdy začaly být zkoumány Alfredem Tarskim a později jeho žáky.
Vztahy mezi velkými kardinály
Je jistě zajímavé, že velké kardinály jsou téměř lineárně uspořádány relací inkluze (a ještě „lineárněji“ relací relativní bezespornosti existence), a to přesto, že pocházejí často z velmi vzdálených částí matematiky.
Seznam velkých kardinálů
V následujícím výčtu jsou velké kardinály seřazeny podle velikosti od nejmenšího (v některých případech není přesné zařazení dle velikosti známo, pak je příslušný kardinál uveden někde v oblasti nejužšího známého omezení): * slabě nedosažitelný kardinál * nedosažitelný kardinál * α-nedosažitelný kardinál * hypernedosažitelný kardinál * slabě Mahlův kardinál * Mahlův kardinál * α-Mahlův kardinál * hyperMahlův kardinál * slabě kompaktní kardinál * \Pi^{m}_{n}-nepopsatelný kardinál * totálně nepopsatelný kardinál * λ-nesložitelný kardinál * nesložitelný kardinál * subtilní kardinál * téměř nevýslovný kardinál * nevýslovný kardinál * n-nevýslovný kardinál * totálně nevýslovný kardinál * pozoruhodný kardinál * Erdösův kardinál κ(α) * skoroRamseyův kardinál * Jónssonův kardinál * Rowbottomův kardinál * Ramseyův kardinál * nevýslovněRamseyův kardinál * měřitelný kardinál * λ-silný kardinál * silný kardinál * Woodinův kardinál * slabě hyperWoodinův kardinál * Shelahův kardinál * hyperWoodinův kardinál * supersilný kardinál * subkompaktní kardinál * silně kompaktní kardinál (přesná síla neznámá: > Woodinův kardinál, ≤ superkompaktní) * superkompaktní kardinál * rozšiřitelný kardinál * η-rozšiřitelný kardinál * Vopěnkův kardinál * skoroobří kardinál * superskoroobří kardinál * obří kardinál * superobří kardinál ---- * Kunenova bariéra (strop pro velké kardinály nezávislé na ZFC) ---- * Reinhardtův kardinál (jeho existence je ve sporu s axiomem výběru, pouze v ZF však vyvratitelná není)