Account App Integration - Responsive Website Template

Array ( [0] => 15486165 [id] => 15486165 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Determinant [uri] => Determinant [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Area_parallellogram_as_determinant.svg|náhled| Absolutní hodnota determinantu matice

2 \times 2

udává obsah rovnoběžníku, jehož hrany určují sloupce (nebo řádky) matice.]]'''Determinant''' [[Čtvercová matice|čtvercové matice]] je [[skalár]], který je [[Funkce (matematika)|funkcí]] prvků matice. Charakterizuje některé vlastnosti matice a s ní souvisejícího [[Lineární zobrazení|lineárního zobrazení]]. Determinant je nenulový, právě když je matice [[Regulární matice|regulární]] a zobrazení je [[Lineární zobrazení|isomorfismus]]. Determinant součinu matic je součinem jejich determinantů. [1] => [2] => Determinant matice

\boldsymbol{A}

s prvky

a_{ij}

se značí

\det(\boldsymbol{A})

{{Citace normy|označení=ČSN EN ISO 80000-2 (011300)|název=Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika|vydal=Česká agentura pro standardizaci|url=https://csnonline.agentura-cas.cz/Detailnormy.aspx?k=511177|datum vydání=2020-11-01}} nebo pomocí svislých čar kolem zápisu prvků matice: [3] => :

[4] => \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [5] => a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    [6] => \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    [7] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

[8] => Mezi další zápisy patří zkrácená forma

|\boldsymbol{A}|

, případně

|a_{ij}|

. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky:

\det \boldsymbol{A}

. [9] => [10] => Determinanty se vyskytují v mnoha oblastech matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty [[Soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]], má soustava jednoznačné řešení, právě když je determinant nenulový. V tomto případě je možné vyjádřit každou složku řešení podílem dvou determinantů ([[Cramerovo pravidlo]]). Determinanty se používají pro definici charakteristického polynomu matice a k následnému určení [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastních čísel]] a [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastních vektorů]]. Při substituci ve vícerozměrném integrálu umožňuje determinant [[Jacobiho matice a determinant|Jacobiho matice]] provést přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii vyjadřuje absolutní hodnota determinantu obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu je v praxi zapisován [[vektorový součin]] a s ním související pojmy, například [[Rotace (operátor)|rotace vektorového pole]]. [11] => [12] => == Definice == [13] => Determinant čtvercové matice

\boldsymbol A

řádu

n

s prvky z libovolného [[Těleso (algebra)|tělesa]]

K

(např. reálných či komplexních čísel) nebo komutativního [[Okruh (algebra)|okruhu]] lze nadefinovat různými způsoby. [14] => [15] => === Leibnizova formule === [16] => [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] definoval determinant výrazem: [17] => :

\det\boldsymbol{A} = \sum_{\sigma \in S_n} 
    [18] => \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}

[19] => [20] => Součet se počítá přes všechny [[permutace]]

\sigma

čísel

\{1,2,\ldots,n\}

\sgn(\sigma)

značí [[znaménko permutace]]

\sigma

: sudé permutace mají znaménko

+1

, a liché

-1

. [21] => [22] => Tento vzorec obsahuje

n!

([[faktoriál]]) sčítanců, což jej s růstem

n

rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu. [23] => [24] => Vzorec lze také vyjádřit pomocí [[Levi-Civitův symbol|Levi-Civitova symbolu]]

\varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n}

jako [25] => :

\det \boldsymbol{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}

[26] => [27] => Pro okrajový případ prázdné matice řádu 0 se determinant definuje 1 (existuje právě jedna permutace prázdné množiny a prázdný součin je 1). [28] => [29] => === Rekurentní předpis === [30] => Determinant matice řádu 1 je roven jejímu jedinému prvku, neboli

\det \boldsymbol A=a_{11}

. [31] => [32] => Determinant matice řádu

n>1

je dán rekurentně předpisem: [33] => [34] => :

\det \boldsymbol A=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} A_{i1}

, [35] => [36] => kde kde

A_{i1}

je determinant matice řádu

n-1

, která vznikne z matice

\boldsymbol A

vynecháním i-tého řádku a prvního sloupce [37] => [38] => Uvedený postup se nazývá ''Laplaceův rozvoj'' podle prvního sloupce. [39] => [40] => === Axiomatická definice === [41] => [42] => Zobrazení

\det\colon K^{n\times n}\to K

z prostoru čtvercových matic do příslušného [[těleso (algebra)|tělesa]]

K

zobrazuje libovolnou matici zapsanou po sloupcích

\boldsymbol A=(v_1, \ldots, v_n)

na její determinant, pokud splňuje následující tři ''Weierstrassovy axiomy'': [43] => [44] => * Je ''multilineární'', tj. lineární v každém sloupci: [45] => : Pro všechny vektory

v_1,\dots,v_n,w \in K^n

platí: [46] => ::

\begin{align}
    [47] =>  &\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i+w,v_{i+1},\ldots,v_n)\\
    [48] =>  &=\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) + \det (v_1,\ldots,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots,v_n)
    [49] => \end{align}

[50] => : Pro všechny vektory

v_1,\ldots,v_n \in K^n

a všechny skaláry

r \in K

platí: [51] => ::

\det(v_1,\ldots,v_{i-1},r\cdot v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) = r \cdot \det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n)

[52] => * Je ''alternující'' (střídavá), tj. pokud se dva sloupce matice shodují, je determinant roven 0: [53] => :Pro všechny vektory

v_1,\ldots,v_n \in K^n

a všechny dvojice indexů

i, j \in \{1,\ldots,n\}, i\ne j

: [54] => ::

\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_{j-1},v_i,v_{j+1}\ldots,v_n) = 0

[55] => : Z toho vyplývá, že při záměně dvou sloupců se znaménko změní: [56] => : Pro všechny vektory

v_1,\ldots,v_n \in K^n

a všechny dvojice indexů

i, j \in \{1,\ldots,n\}, i\ne j

: [57] => ::

\det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_n) = -\det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_n)

[58] => : Tento vztah se často používá k definici střídavosti, ale ekvivalentní s výše uvedeným, jen pokud má příslušné těleso [[Charakteristika (matematika)|charakteristiku]] různou od 2. [59] => * Je ''normalizovaná'', tj. [[jednotková matice]] má determinant 1: [60] => ::

\det \mathbf I=1

. [61] => [62] => [[Karl Weierstrass]] dokázal v roce 1864, ale patrně již dříve,{{Citace periodika [63] => | příjmení = Frobenius [64] => | jméno = Ferdinand Georg [65] => | autor = [66] => | titul = Zur Theorie der linearen Gleichungen [67] => | periodikum = J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) [68] => | rok vydání = 1905 [69] => | číslo = 129 [70] => | strany = 179–180 [71] => | vydavatel = [72] => | datum = [73] => }} že ''normalizovaná'' alternující multilineární forma

\det

na [[Algebra (struktura)|algebře]] čtvercových matic řádu

n

vždy existuje a je jednoznačná''. '' [74] => [75] => [76] => == Ukázky == [77] => [78] => === Matice řádu 2 === [79] => Na dvouprvkové množině jsou dvě permutace: sudá identita

(1,2)

a lichá transpozice

(2,1)

. Podle Leibnizovy formule i rekurentního předpisu dostáváme vzorec pro determinant: [80] => :

\det\boldsymbol{A} =
    [81] => \begin{vmatrix}
    [82] => a_{11} & a_{12} \\
    [83] => a_{21} & a_{22} \\
    [84] => \end{vmatrix}
    [85] => = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}

[86] => Ukázka výpočtu determinantu: [87] => [88] => :

\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & {-4} \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - 7 \cdot 1 = -19.

[89] => [90] => [[Soubor:Regla de Sarrus 02.svg|náhled|Výpočet determinantu [[Sarrusovo pravidlo|Sarrusovým pravidlem]]]] [91] => [92] => === Matice řádu 3 === [93] => Pro matici

\boldsymbol A

řádu 3 má Leibnizův vzorec šest členů. Tři odpovídají sudým permutacím

(1,2,3)

(2,3,1)

(3,1,2)

, zatímco zbývající tři lichým

(1,3,2)

(2,1,3)

(3,2,1)

: [94] => [95] => :

[96] => \det\boldsymbol{A} =
    [97] => \begin{vmatrix}
    [98] => a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
    [99] => a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
    [100] => a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
    [101] => \end{vmatrix}
    [102] => =
    [103] => a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} -
    [104] => a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} 
    [105] => \,

[106] => [107] => Permutace

(1, 2, 3)

odpovídá sčítanci

+a_{11}a_{22}a_{33}

, zatímco

(1,3,2)

odpovídá členu

-a_{11}a_{23}a_{32}

apod. [108] => [109] => Ukázka výpočtu determinantu: [110] => [111] => :

[112] => \begin{vmatrix}
    [113] =>  0 & 1 & 2 \\
    [114] =>  3 & 2 & 1 \\
    [115] =>  1 & 1 & 0
    [116] =>  \end{vmatrix}
    [117] =>  =
    [118] =>  0 \cdot 2 \cdot 0 +
    [119] =>  1 \cdot 1 \cdot 1 +
    [120] =>  2 \cdot 3 \cdot 1 -
    [121] =>  0 \cdot 1 \cdot 1 -
    [122] =>  1 \cdot 3 \cdot 0 -
    [123] =>  2 \cdot 2 \cdot 1 = 
    [124] =>  0 + 1 + 6 - 4  = 3  
    [125] =>

[126] => [127] => Rekurentní předpis dává stejný výsledek: [128] => [129] => :

[130] => \begin{vmatrix}
    [131] =>  0 & 1 & 2 \\
    [132] =>  3 & 2 & 1 \\
    [133] =>  1 & 1 & 0
    [134] =>  \end{vmatrix}
    [135] =>  =
    [136] =>  0 \cdot
    [137] =>  \begin{vmatrix}
    [138] =>  2 & 1 \\
    [139] =>  1 & 0
    [140] =>  \end{vmatrix}
    [141] =>  -3 \cdot
    [142] =>  \begin{vmatrix}
    [143] =>  1 & 2 \\
    [144] =>  1 & 0
    [145] =>  \end{vmatrix}
    [146] =>  +1 \cdot
    [147] =>  \begin{vmatrix}
    [148] =>  1 & 2 \\
    [149] =>  2 & 1
    [150] =>  \end{vmatrix}

[151] => [152] => :

= 0 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 3 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)
    [153] =>  = 0 + 6 - 3
    [154] =>  = 3
    [155] =>

[156] => [157] => [[Mnemotechnická pomůcka]] sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá [[Sarrusovo pravidlo]]. [158] => [159] => == Vlastnosti == [160] => * Determinant [[Jednotková matice|jednotkové matice]] splňuje

\det\mathbf{I}= 1

[161] => * Determinant [[Trojúhelníková matice|trojúhelníkové matice]]

\boldsymbol A

je roven součinu prvků na diagonále: [162] => :

\det(\boldsymbol A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}

. [163] => * Determinant matice

\boldsymbol{A}

je roven determinantu [[transponovaná matice|transponované matice]]

\boldsymbol{A}^\mathrm{T}

: [164] => :

\det \boldsymbol{A} = \det \boldsymbol{A}^\mathrm{T}

. [165] => * Pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven [[nula|nule]]. [166] => * Pokud lze prvky ''i''-tého řádku matice zapsat jako

c \cdot a_{ij}

, pak platí: [167] => :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [168] => a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    [169] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [170] => c a_{i1} & c a_{i2} & \cdots & c a_{in} \\
    [171] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [172] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \cdot 
    [173] => \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [174] => a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    [175] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [176] => a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
    [177] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [178] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

, [179] => :tzn. determinant je '''homogenní''' funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců). [180] => * Speciální případ předchozí vlastnosti nastane u matice

\boldsymbol{B}

, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice

\boldsymbol{A}

řádu

n

číslem

c

, takže

b_{ij} = c \cdot a_{ij}

. V tomto případě platí: [181] => :

\det \boldsymbol{B} = c^n \det \boldsymbol{A}

[182] => * Pro součet determinantů dvou matic, které se vzájemně liší v jednom řádku platí: [183] => :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [184] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [185] => a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\
    [186] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [187] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = 
    [188] => \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [189] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [190] => a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
    [191] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [192] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + 
    [193] => \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [194] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [195] => b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
    [196] => \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    [197] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

, [198] => :neboli determinant je '''aditivní''' funkcí svých řádků (i sloupců). [199] => * Aditivita spolu s homogenitou znamenají, že determinant je [[Multilineární forma|multilineární formou]] svých řádků i sloupců. [200] => * Determinant je '''alternující''' forma vzhledem k záměně dvou řádků, popř. sloupců, což znamená, že při záměně dvou řádků nebo dvou sloupců se znaménko determinantu změní na opačné. [201] => * Pokud má matice

\boldsymbol{A}

dva řádky nebo dva sloupce shodné, pak je

\det \boldsymbol{A} = 0

. [202] => * Obecněji, pokud je jeden řádek (nebo sloupec) jako [[lineární kombinace|lineární kombinací]] ostatních řádků (sloupců), čili matice je [[Singulární matice|singulární]], je její determinant nulový. [203] => * [[Regulární matice]] mají nenulový determinant. [204] => * Determinant [[inverzní matice]] splňuje

\det\left(\boldsymbol A^{-1}\right) = \frac{1}{\det\boldsymbol A}

. [205] => * '''Determinant [[Násobení matic|součinu]]''' čtvercových matic stejného řádu je roven součinu jejich determinantů: [206] => :

\det \boldsymbol{(AB)}=\det \boldsymbol{(BA)}=\det \boldsymbol{A}\cdot\det \boldsymbol{B}

. [207] => * '''Součinem determinantů'''

\det \boldsymbol{A}

\det \boldsymbol{B}

je determinant

\det \boldsymbol{C}

, pro který platí [208] => :

\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
    [209] => \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    [210] => c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix} = 
    [211] => \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    [212] => \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    [213] => a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \cdot 
    [214] => \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
    [215] => \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    [216] => b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}

, [217] => kde prvky matice

\boldsymbol{C}

jsou dány jedním z následujících vztahů [218] => :

c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{kj}

, tzn. násobí se řádky matice

\boldsymbol A

s řádky matice

\boldsymbol B

, [219] => :

c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{kj}

, tzn. násobí se sloupce matice

\boldsymbol A

s řádky matice

\boldsymbol B

, [220] => :

c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}

, tzn. násobí se řádky matice

\boldsymbol A

se sloupci matice

\boldsymbol B

, [221] => :

c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}

, tzn. násobí se sloupce matice

\boldsymbol A

se sloupci matice

\boldsymbol B

. [222] => [223] => * Determinant v [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]] je '''pseudoskalár''', při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, zdali se mění orientace báze či nikoliv. [224] => [225] => == Geometrický význam determinantu == [226] => [227] => === Matice řádu 2 === [228] => [[Soubor:Geom det 2.svg|náhled|Výpočet obsahu rovnoběžníku pomocí determinantu matice

2 \times 2

.]] [229] => Matice řádu dva [230] => :

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&b\\
    [231] => c&d\end{pmatrix}

[232] => má determinant [233] => :

\det\boldsymbol{A}=ad-bc \,

. [234] => [235] => Jeho [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]] lze interpretovat jako [[obsah]] [[rovnoběžník]]u s vrcholy v bodech

(0,0)

\boldsymbol a_1=(a,b)

\boldsymbol a_2=(c,d)

(a+c, b+d)

, jak je znázorněno na přiloženém diagramu. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci [[vektor]]ů

\boldsymbol a_1

\boldsymbol a_2

a to tak, že

\det\boldsymbol A

je kladný, pokud úhel mezi vektory

\boldsymbol a_1

\boldsymbol a_2

měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) je menší než

\pi

, a je záporný, pokud je tento úhel větší než

\pi

. [236] => [237] => Namísto řádkových vektorů lze vzít i sloupcové. [238] => [239] => [[Soubor:Determinant_parallelepiped.svg|vpravo|náhled|300x300pixelů| Objem [[rovnoběžnostěn]]u je absolutní hodnotou determinantu matice jejíž řádky (nebo sloupce) jsou vektory

r_1

r_2

r_3

.]] [240] => === Matice řádu 3 === [241] => Podobný geometrický význam jako i determinant matic

\boldsymbol{B}=(b_{ij})

řádu tři. [[Řádkový vektor|Řádkové vektory]] [242] => [243] => :

\boldsymbol{b}_1=(b_{11},b_{12},b_{13}), \, \boldsymbol{b}_2=(b_{21},b_{22},b_{23}), \,\boldsymbol{b}_3=(b_{31},b_{32},b_{33})

[244] => [245] => určují v třídimenzionálním [[prostor (geometrie)|prostoru]] [[rovnoběžnostěn]], jehož objem je roven

|\det \boldsymbol B|

. Pokud je

\det \boldsymbol B

kladný, tak je posloupnost vektorů

\boldsymbol b_1

\boldsymbol b_2

\boldsymbol b_3

pravotočivá, a je-li záporný, pokud je levotočivá. [246] => [247] => === Matice vyšších řádů === [248] => V [[Eukleidovský prostor|Eukleidovských prostorech]] vyšších dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného [[n-rozměrný prostor|

n

-rozměrného]] [[rovnoběžnostěn]]u, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů

\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2,\ldots, \boldsymbol b_n

. [249] => [250] => Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane, právě když lze alespoň jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují [[Vektorový prostor|prostor]] [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] nižší, než je řád matice. Taková matice se nazývá [[singulární matice|singulární]]. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, je [[regulární matice|regulární]]. [251] => [252] => == Metody výpočtu == [253] => [254] => === Řádkové a sloupcové úpravy matice === [255] => Metoda spočívá v provedení úprav matice, které nemění hodnotu determinantu nezmění nebo změní kontrolovaným způsobem a přitom některé prvky matice redukuje na 0, čímž se zjednoduší výpočet hodnoty determinantu. Cílem prováděných úprav je získat horní [[trojúhelníková matice|trojúhelníkovou matici]]

\boldsymbol A

(tedy pro

i > j

a_{{ij}} = 0

), neboť pro tu platí: [256] => :

\det\boldsymbol{A} = a_{{11}} a_{{22}} \cdots a_{{nn}} \,

, [257] => neboli determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na [[hlavní diagonála|hlavní diagonále]] matice. [258] => [259] => Například determinant matice

\boldsymbol B

, kterou získáme z matice

\boldsymbol A

tak, že k libovolnému řádku matice

\boldsymbol A

přičteme násobek některého z ostatních řádků matice

\boldsymbol A

, je roven determinantu matice

\boldsymbol A

, neboli

\det \boldsymbol{B} = \det \boldsymbol{A}

. Obecněji, přičteme-li k řádku lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu se nezmění. Podobně lze postupovat i pro sloupce. [260] => [261] => Kromě toho lze použít i další pravidla, která však mění hodnotu determinantu: [262] => * Pokud

\boldsymbol B

vznikne z

\boldsymbol A

výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom

\det\boldsymbol{B} = -\det\boldsymbol{A} \,

. [263] => * Pokud

\boldsymbol B

vznikne z

\boldsymbol A

vynásobením řádku nebo sloupce skalárem ''c'', potom

\det\boldsymbol{B} = c\det\boldsymbol{A} \,

. [264] => [[Gaussova eliminační metoda|Gaussova eliminace]] udává postup, jak s použitím uvedených pravidel převedeme matici na horní trojúhelníkovou matici. Navíc je garantováno, že stačí provést nejvýše kvadraticky mnoho řádkových úprav vzhledem k řádu matice. [265] => [266] => Následující konkrétní ukázka ilustruje výpočet determinantu matice

\boldsymbol A

pomocí elementárních řádkových úprav: [267] => :

\boldsymbol A = \begin{pmatrix}
    [268] =>  -1 & 4 & 2 \\
    [269] =>  3 & 1 & -1 \\
    [270] => -3 & 2 & -2
    [271] => \end{pmatrix}.

[272] => [273] => {| class="wikitable" [274] => |+Výpočet determinantu matice

\boldsymbol A

[275] => | Matice [276] => |

\boldsymbol B = \begin{pmatrix}
    [277] =>  -1 & 4 & 2 \\
    [278] =>  3 & 1 & -1 \\
    [279] =>  0 & 3 & -3
    [280] => \end{pmatrix}

[281] => |

\boldsymbol C = \begin{pmatrix}
    [282] =>  -1 & 4 & 2 \\
    [283] =>  0 & 13 & 5 \\
    [284] =>  0 & 3 & -3
    [285] => \end{pmatrix}

[286] => |

\boldsymbol D = \begin{pmatrix}
    [287] => -1 & 4 & 2 \\
    [288] =>  0 & 3 & -3 \\
    [289] =>  0 & 13 & 5
    [290] => \end{pmatrix}

[291] => |

\boldsymbol E = \begin{pmatrix}
    [292] =>  -1 & 4 & 2 \\
    [293] =>  0 & 3 & -3 \\
    [294] =>  0 & 0 & 18
    [295] => \end{pmatrix}

-\frac{13} 3

násobku druhého řádku k třetímu [302] => |- [303] => | Determinant [304] => |

|\boldsymbol A| = |\boldsymbol B|

[305] => |

|\boldsymbol B| = |\boldsymbol C|

[306] => |

|\boldsymbol D| = -|\boldsymbol C|

[307] => |

|\boldsymbol E| = |\boldsymbol D|

[308] => |} [309] => Z posloupnosti provedených úprav vyplývá

|\boldsymbol A| = -|\boldsymbol E| = -((-1) \cdot 3 \cdot 18) = 54.

[310] => === Laplaceův rozvoj === [311] => Metoda odpovídá rekurentní definici determinantu. Je vhodná pro řídké matice neboli matice s mnoha nulovými prvky. Rozvoj podle

i

-tého řádku je dán vzorcem: [312] => [313] => :

\det\boldsymbol{A} = \sum_{j=1}^n\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}

[314] => [315] => kde

{A}_{ij}

je determinant matice, která vznikne z

\boldsymbol A

odstraněním

i

-tého řádku a

j

-tého sloupce. Takto získaná matice se nazývá [[podmatice]], determinant k ní příslušný se nazývá [[subdeterminant]] a člen

(-1)^{i+j}A_{ij}

se nazývá ''kofaktor''. [316] => [317] => Rozvoj podle

j

-tého sloupce je dán vzorcem: [318] => [319] => :

\det\boldsymbol{A} = \sum_{i=1}^n\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}

[320] => [321] => (Jediná změna je v použitém sumačním indexu.) [322] => [323] => === Výpočetní a bitová složitost === [324] => [[Asymptotická složitost|Výpočetní složitost]] výpočtu determinantu matice řádu

n

z definice Leibnizovou formulí nebo rekurentní aplikací Laplaceova rozvoje je [[Landauova notace|asymptoticky]]

\operatorname O(n!)

, zatímco běžná Gaussova eliminace má složitost pouze

\operatorname O(n^3)

a v některých případech lze postupovat ještě rychleji (viz například [[Strassenův algoritmus]]). Proto je výpočetně smysluplné pro rozvoj využívat pouze řádky nebo sloupce, které obsahují jen jeden nenulový prvek, neboť už u dvou prvků v řádku či sloupci je výpočetně efektivnější jeden z nich eliminovat řádkovou nebo sloupcovou úpravou (až na malé matice řádů nejvýše tři). [325] => [326] => Kromě složitosti algoritmu lze k porovnání algoritmů použít i další kritéria. Zejména pro aplikace týkající se matic nad okruhy existují algoritmy, které počítají determinant bez jakéhokoli dělení. (Naproti tomu Gaussova eliminace vyžaduje dělení.) Jeden takový algoritmus, který má složitost

\operatorname O(n^4)

, je založen na následující myšlence: Permutace (jako v Leibnizově pravidle) nahradíme takzvanými uzavřenými uspořádanými sledy, v nichž se mohou prvky opakovat. Výsledný součet má více členů než v Leibnizově pravidle, ale v procesu lze několik z těchto součinů znovu použít, takže je efektivnější než naivní výpočet s Leibnizovým pravidlem.{{Citace monografie [327] => | příjmení = Rote [328] => | jméno = Günter [329] => | titul = Division-Free Algorithms for the Determinant and the Pfaffian: Algebraic and Combinatorial Approaches [330] => | url = https://doi.org/10.1007/3-540-45506-X_9 [331] => | editoři = Helmut Alt [332] => | vydavatel = Springer [333] => | místo = Berlin, Heidelberg [334] => | strany = 119–135 [335] => | isbn = 978-3-540-45506-6 [336] => | doi = 10.1007/3-540-45506-x_9 [337] => | poznámka = DOI: 10.1007/3-540-45506-X_9 [338] => | jazyk = en [339] => }} Algoritmy lze také hodnotit podle jejich [[bitové složitosti]], tj. kolik bitů přesnosti je potřeba k uložení dočasných hodnot vyskytujících se ve výpočtu. Například metoda [[Gaussova eliminace]] (nebo LU rozklad) má výpočetní složitost

\operatorname O(n^3)

, ale bitová délka mezihodnot může být exponenciálně dlouhá.{{Citace sborníku [340] => | příjmení = Fang [341] => | jméno = Xin Gui [342] => | příjmení2 = Havas [343] => | jméno2 = George [344] => | titul = On the worst-case complexity of integer Gaussian elimination [345] => | url = https://doi.org/10.1145/258726.258740 [346] => | sborník = Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation [347] => | vydavatel = Association for Computing Machinery [348] => | místo = New York, NY, USA [349] => | datum vydání = 1997-07-01 [350] => | strany = 28–31 [351] => | isbn = 978-0-89791-875-6 [352] => | doi = 10.1145/258726.258740 [353] => }} Pro srovnání, [[Bareissův algoritmus]], je metoda s přesným dělením (používá tedy dělení, ale pouze v případech, kdy je lze provést beze zbytku), má asymptoticky stejnou výpočetní složitost, ale bitová složitost zhruba odpovídá

n

-násobku bitové velikosti zápisu původní matice.{{Citace periodika [354] => | příjmení = Fisikopoulos [355] => | jméno = Vissarion [356] => | příjmení2 = Peñaranda [357] => | jméno2 = Luis [358] => | titul = Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation [359] => | periodikum = Computational Geometry [360] => | datum vydání = 2016-04-01 [361] => | ročník = 54 [362] => | strany = 1–16 [363] => | issn = 0925-7721 [364] => | doi = 10.1016/j.comgeo.2015.12.001 [365] => | jazyk = en [366] => | url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0925772115001261 [367] => | datum přístupu = 2023-04-10 [368] => }} [369] => [370] => == Souvislosti s jinými pojmy == [371] => [372] => === Vlastní čísla a charakteristický polynom === [373] => {{Podrobně|Vlastní vektory a vlastní čísla}} [374] => Determinant úzce souvisí s [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastními čísly]] a charakteristickým polynomem matice. Charakteristický polynom matice

\boldsymbol A

v proměnné

t

je definován výrazem: [375] => [376] => :

\chi_{\boldsymbol A}(t) = \det(\boldsymbol A- t \mathbf I)

[377] => [378] => kde

\mathbf I

je [[jednotková matice]] stejného řádu jako

\boldsymbol A

. [[Vlastní vektory a vlastní čísla|Vlastní čísla]] matice

\boldsymbol A

jsou právě všechny [[Kořen (matematika)|kořeny]] tohoto polynomu, tj. taková čísla

\lambda

ze stejného oboru jako prvky matice, splňující: [379] => [380] => :

\chi_\boldsymbol{A}(\lambda) = 0.

[381] => [382] => Je-li

\boldsymbol A

matice řádu

n

s [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastními čísly]]

\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n

(zde se rozumí, že vlastní číslo s [[Vlastní vektory a vlastní čísla|algebraickou násobností]]

k

se v tomto seznamu vyskytuje

k

-krát), pak determinant matice

\boldsymbol A

je součin všech jejích vlastních čísel: [383] => [384] => :

\det(\boldsymbol A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

. [385] => [386] => === Pozitivně definitní matice === [387] => {{Podrobně|Definitnost}} [388] => [[Hermitovská matice]] je pozitivně definitní, pokud jsou všechna její vlastní čísla kladná. Uvedená vlastnost je podle [[Sylvesterovo kritérium|Sylvesterova kritéria]] ekvivalentní podmínce, že determinanty podmatic [389] => [390] => :

\boldsymbol A_k = \begin{pmatrix}
    [391] =>  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\
    [392] =>  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\
    [393] =>   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    [394] =>  a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}
    [395] => \end{pmatrix}

[396] => [397] => jsou kladné pro všechna

k\in \{1,\dots,n\}

. [398] => [399] => === Podobné matrice === [400] => {{Podrobně|Podobnost matic}} [401] => Matice

\boldsymbol A

\boldsymbol B

jsou si navzájem podobné, pokud existuje regulární matice

\boldsymbol R

taková, že

\boldsymbol A= \boldsymbol R^{-1} \boldsymbol{BR}

. Determinanty podobných matic jsou shodné, protože [402] => [403] => :

\det \boldsymbol A 
    [404] => = \det\left(\boldsymbol R^{-1} \boldsymbol B \boldsymbol R\right) 
    [405] => = \det(\boldsymbol R^{-1})\cdot\det\boldsymbol B\cdot\det\boldsymbol R 
    [406] => = \left(\det\boldsymbol R\right)^{-1}\cdot\det\boldsymbol B\cdot\det\boldsymbol R
    [407] => = \det\boldsymbol B

. [408] => [409] => Z uvedeného vyplývá, že je-li

f\colon V\to V

lineární zobrazení na [[Vektorový prostor|vektorovém prostoru]]

V

konečné dimenze, potom volba báze nijak neovlivní hodnotu determinantu matice tohoto zobrazení. [410] => [411] => === Stopa === [412] => {{Podrobně|Stopa matice|Maticová exponenciála}} [413] => [[Stopa matice|Stopa]]

\operatorname{tr} \boldsymbol A

matice

\boldsymbol A

je definována jako součtem prvků na diagonále

\boldsymbol A

. Pokud počet vlastních čísel (včetně násobnosti) odpovídá řádu matice, je stopa rovna součtu vlastních čísel. Pro matice nad algebraicky uzavřenými tělesy, např. pro komplexní matice

\boldsymbol A

proto platí: [414] => [415] => :

\det(\exp \boldsymbol A) = \exp(\operatorname{tr} \boldsymbol A)

[416] => [417] => a v důsledku pro reálné matice

\boldsymbol A

platí také: [418] => [419] => :

\operatorname{tr}\boldsymbol A = \log(\det(\exp\boldsymbol A))

[420] => [421] => Zde

\exp \boldsymbol A

označuje [[Maticová exponenciála|maticovou exponenciálu]]

\boldsymbol A

, protože každé vlastní číslo

\lambda

matice

\boldsymbol A

odpovídá vlastnímu číslu

\exp \lambda

matice

\exp \boldsymbol A

. Konkrétně, pro libovolný logaritmus matice

\boldsymbol A

, tedy pro každou matici

\boldsymbol L

vyhovující podmínce: [422] => [423] => :

\exp\boldsymbol L = \boldsymbol A

[424] => [425] => je determinant matice

\boldsymbol A

dán vztahem: [426] => [427] => :

\det \boldsymbol A = \exp(\operatorname{tr}\boldsymbol L)

. [428] => [429] => Například pro matice řádů 2, 3 a 4, resp. platí: [430] => [431] => :

\begin{align}
    [432] =>   \det\boldsymbol A &= \frac{1}{2}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^2 -  \operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\right), \\
    [433] =>   \det\boldsymbol A &= \frac{1}{6}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^3 - 3(\operatorname{tr}\boldsymbol A)\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right) + 2 \operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^3\right)\right), \\
    [434] =>   \det\boldsymbol A &= \frac{1}{24}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^4 - 6\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^2 + 3\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\right)^2 + 8\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^3\right)(\operatorname{tr}\boldsymbol A) - 6\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^4\right)\right).
    [435] => \end{align}

[436] => [437] => == Historie == [438] => Historicky byly determinanty ([[Latinsky|lat.]] ''{{lang|la|determinare}}'' "vymezovat", "určovat") používány dlouho před maticemi. Pojem "matice" vznikl až více než 200 let po prvních úvahách o determinantech. Determinant byl původně definován jako vlastnost [[Soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]]. Determinant „určuje“, zda má soustava jednoznačné řešení, což nastává právě když je determinant nenulový. V tomto smyslu byly determinanty poprvé použity v čínské učebnici matematiky ''[[Devět kapitol matematického umění]]'' (九章算術, kolem 3. století před naším letopočtem). V Evropě byla řešení soustav dvou lineárních rovnic vyjádřena [[Gerolamo Cardano|Gerolamem Cardanem]] v roce 1545 entitou podobnou determinantu.{{Citace monografie [439] => | titul = Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences [440] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/51178107 [441] => | vydání = Johns Hopkins paperbacks ed [442] => | vydavatel = Johns Hopkins University Press [443] => | místo = Baltimore [444] => | počet stran = 2 volumes (xiv, 1806 pages) [445] => | isbn = 0-8018-7396-7 [446] => | isbn2 = 978-0-8018-7396-6 [447] => | oclc = 51178107 [448] => }} [449] => [450] => Přibližně o sto let později [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] a [[Takakazu Seki]] nezávisle na sobě studovali soustavy lineárních rovnic o více neznámých.{{Citace monografie [451] => | titul = Gottfried Wilhelm Leibniz : das Wirken des grossen Philosophen und Universalgelehrten als Mathematiker, Physiker, Techniker : Vorträge und Katalog der Erstausstellung an der Universität Hannover anlässlich der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) vom 9. bis 12. April 1990 [452] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/23984373 [453] => | vydavatel = Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Gesellschaft [454] => | místo = Hannover [455] => | počet stran = 151 pages [456] => | isbn = 3-9800978-4-6 [457] => | isbn2 = 978-3-9800978-4-0 [458] => | oclc = 23984373 [459] => }} Seki vydal roku 1683 v Japonsku práci, v níž se snažil podat schematické vzorce řešení soustav rovnic pomocí determinantů a objevil pravidlo pro případ tří neznámých, které odpovídá pozdějšímu [[Sarrusovo pravidlo|Sarrusovu pravidlu]]. Obdobnou práci o determinantech vydal [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] v roce 1693. {{Citace monografie [460] => | příjmení = Eves [461] => | jméno = Howard [462] => | titul = An introduction to the history of mathematics [463] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/20842510 [464] => | vydání = 6th ed [465] => | vydavatel = Saunders College Pub [466] => | místo = Philadelphia [467] => | počet stran = xviii, 775 pages [468] => | isbn = 0-03-029558-0 [469] => | isbn2 = 978-0-03-029558-4 [470] => | oclc = 20842510 [471] => }} A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory at: {{Citace elektronické monografie [472] => | url = http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html [473] => | url-status = dead [474] => | titul = Archivovaná kopie [475] => | datum přístupu = 2023-04-11 [476] => | url archivu = https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html [477] => | datum archivace = 2012-09-10 [478] => | nedostupné = ano [479] => }} [480] => [481] => V 18. století se determinanty staly nedílnou součástí technik pro řešení soustav lineárních rovnic. Při studiích průsečíků dvou algebraických křivek vypočítal [[Gabriel Cramer]] v roce 1750 [[koeficient]]y obecné [[Kuželosečka|kuželosečky]] [482] => [483] => :

A + By + Cx+ Dy^2 + Exy + x^2 = 0,

[484] => [485] => která prochází pěti danými body a zavedl [[Cramerovo pravidlo]] (bez důkazu), které je po něm dnes pojmenováno.{{Citace monografie [486] => | příjmení = Kleiner [487] => | jméno = Israel [488] => | titul = A history of abstract algebra [489] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/187165155 [490] => | vydavatel = Birkhäuser [491] => | místo = Boston, Mass. [492] => | počet stran = 1 online resource (xiii, 168 pages) [493] => | isbn = 978-0-8176-4685-1 [494] => | isbn2 = 0-8176-4685-X [495] => | oclc = 187165155 [496] => }} Tento vzorec používal již [[Colin Maclaurin]] pro soustavy rovnic až se čtyřmi neznámými.{{Citace monografie [497] => | titul = 4000 Jahre Algebra Geschichte, Kulturen, Menschen [498] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/248734867 [499] => | místo = Berlin [500] => | počet stran = XIV, 653 S [501] => | isbn = 978-3-540-43554-9 [502] => | isbn2 = 3-540-43554-9 [503] => | oclc = 248734867 [504] => }} Několik známých matematiků jako [[Étienne Bézout]], [[Leonhard Euler]], [[Joseph-Louis Lagrange]] a [[Pierre-Simon Laplace]] se tou dobou primárně zabývalo výpočtem determinantů. [505] => [506] => Determinanty jako samostatné funkce studoval jako první [[Alexandre-Théophile Vandermonde]] ve své práci o teorii eliminace, dokončené v roce 1771 a zveřejněné v roce 1776. V ní formuloval některá základní tvrzení o determinantech a je proto považován za zakladatele teorie determinantů. Mezi tyto výsledky patřilo například tvrzení, že sudý počet záměn dvou sousedních sloupců nebo řádků nemění znaménko determinantu, zatímco znaménko determinantu se změní s lichým počtem záměn. [[Pierre-Simon Laplace]] uvedl v roce 1772 obecnou metodu rozvoje determinantu pomocí doplňkových subdeterminantů.{{Citace periodika [507] => | příjmení = Muir [508] => | jméno = Thomas [509] => | titul = The Theory of Determinants in the Historical Order of its Development [510] => | periodikum = Proceedings of the Royal Society of Edinburgh [511] => | datum vydání = 1890 [512] => | ročník = 16 [513] => | strany = 207–234 [514] => | issn = 0370-1646 [515] => | doi = 10.1017/s0370164600006325 [516] => | url = http://dx.doi.org/10.1017/s0370164600006325 [517] => | datum přístupu = 2023-04-11 [518] => }} Lagrange se bezprostředně poté zabýval determinanty matic druhého a třetího řádu, aplikoval je na problémy z teorie eliminace a dokázal mnoho speciálních případů obecných identit. [519] => [520] => Během svých studií [[Binární kvadratická forma|binárních]] a ternárních [[Kvadratická forma|kvadratických forem]] používal [[Carl Friedrich Gauss]] schematický zápis [[matice]], aniž jej tak však nazýval. Jako vedlejší efekt svých výzkumů definoval dnešní [[násobení matic|maticový součin]], dospěl k pojmu reciprokých (inverzních) determinantů a pro určité speciální případy ukázal roku 1801 [[Determinant|větu o determinantu součinu matic]]. Zavedl také slovo „determinant“ (Laplace jej nazýval „resultant“), i když ne v současném významu, ale spíše jako [[diskriminant]] [[Homogenní polynom|polynomu pátého stupně]]. [521] => [522] => Dalším významným přispěvatelem je [[Jacques Philippe Marie Binet]], který formálně vyslovil větu o součinu dvou matic o

m

sloupcích a

n

řádcích. Ve speciálním případě

m=n

se tato věta redukuje na větu o součinu. Ve stejný den (30. listopadu 1812), kdy Binet přednesl Akademii svůj příspěvek, přednášel na stejné téma i [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]]. Cauchy začal používat slovo "determinant" v jeho dnešním významu a významně přispěl k tomu, že pro tento pojem termín „determinant“ nakonec převládl. Cauchy dále systematizoval teorii determinantu, shrnul a zjednodušil to, co bylo v té době na toto téma známo, zdokonalil zápis. Zavedl například kofaktory a jasně rozlišoval mezi jednotlivými prvky determinantu a dílčími determinanty různých řádů. Formuloval a dokázal některé věty o determinantech, jako je věta o součinu determinantů nebo její zobecnění, [[Binetova-Cauchyho formule]]. Proto lze i Cauchyho považovat za zakladatele teorie determinantu. [523] => [524] => [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] zavedl roku 1841 determinant matice parciálních derivací, který [[James Joseph Sylvester]] později nazval [[Jacobiho matice a determinant|Jakobiánem]]. Ve svých vzpomínkách v ''[[Crelle's Journal]]'' za rok 1841 se Jacobi speciálně zabývá tímto tématem, stejně jako třídou střídavých funkcí, které Sylvester nazval "alternanty". Přibližně v době vydání posledních Jacobiho pamětí se maticemi začali zabývat Sylvester a [[Arthur Cayley]]. Cayley 1841 zavedl moderní zápis determinantu pomocí svislých čar. [525] => [526] => ''Axiomatický popis determinantu jako funkce

n \times n

nezávislých proměnných'' jako první podal [[Karl Weierstrass]] ve svých berlínských přednáškách (nejpozději z roku 1864 a možná ještě před tím), na které pak navázal [[Ferdinand Georg Frobenius]] ve svých berlínských přednáškách v letním semestru 1874 a mimo jiné byl pravděpodobně první, kdo systematicky odvodil Laplaceův rozvoj z této axiomatiky. [527] => [528] => Na dokončení obecné teorie determinantu navázalo studium speciálních forem determinantů, např. osově symetrických determinantů, cirkulantů, Pfaffiánů, Wronského determinantů, Jakobiánů, Hessiánů a dalších. [529] => [530] => == Odkazy == [531] => === Reference === [532] => {{Překlad|en|Determinant|1141738510|de|Determinante|230528856}} [533] => [534] => [535] => === Literatura === [536] => * {{Citace monografie [537] => | titul = Slovník školské matematiky [538] => | vydavatel = SPN [539] => | místo = Praha [540] => | rok = 1981 [541] => | počet_stran = 240 [542] => }} [543] => * {{Citace monografie [544] => | příjmení = Bärtsch [545] => | jméno = Hans-Jochen [546] => | titul = Matematické vzorce [547] => | vydavatel = Academia [548] => | místo = Praha [549] => | rok = 2006 [550] => | počet_stran = 832 [551] => | kapitola = Matice [552] => | strany = 180–198 [553] => | isbn = 80-200-1448-9 [554] => }} [555] => * {{Citace monografie [556] => | příjmení = Bečvář [557] => | jméno = Jindřich [558] => | titul = Lineární algebra [559] => | vydání = 1 [560] => | vydavatel = Matfyzpress [561] => | místo = Praha [562] => | rok vydání = 2019 [563] => | počet_stran = 436 [564] => | isbn = 978-80-7378-392-1 [565] => }} [566] => * {{Citace monografie [567] => | příjmení = Bečvář [568] => | jméno = Jindřich [569] => | titul = Z historie lineární algebry [570] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/845576335 [571] => | vydavatel = Matfyzpress [572] => | místo = Praha [573] => | počet stran = 519 [574] => | isbn = 978-80-7378-036-4 [575] => | isbn2 = 80-7378-036-4 [576] => | oclc = 845576335 [577] => }} [578] => * {{Citace monografie [579] => | příjmení = Hladík [580] => | jméno = Milan [581] => | titul = Lineární algebra (nejen) pro informatiky [582] => | vydání = 1 [583] => | vydavatel = Matfyzpress [584] => | místo = Praha [585] => | rok vydání = 2019 [586] => | počet_stran = 328 [587] => | strany = 39 [588] => | isbn = 978-80-7378-378-5 [589] => }} [590] => * {{Citace elektronické monografie [591] => | příjmení = Olšák [592] => | jméno = Petr [593] => | titul = Lineární algebra [594] => | url = http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf [595] => | místo = Praha [596] => | datum vydání = 2007 [597] => | datum přístupu = 2023-02-20 [598] => }} [599] => * {{Citace elektronické monografie [600] => | příjmení1 = Motl [601] => | jméno1 = Luboš [602] => | příjmení2 = Zahradník [603] => | jméno2 = Miloš [604] => | titul = Pěstujeme lineární algebru [605] => | url = https://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html [606] => | datum přístupu = 2023-02-20 [607] => }} [608] => [609] => === Související články === [610] => * [[Cramerovo pravidlo]] [611] => * [[Lineární závislost]] [612] => * [[Matice]] [613] => * [[Subdeterminant]] [614] => [615] => === Externí odkazy === [616] => * {{Commonscat}} [617] => * {{MathWorld|id=Determinant}} [618] => * [http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/cz Lineární algebra: determinanty] {{Wayback|url=http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/cz |date=20081006043213 }} Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-6. Pro matice řádu 4,5,6 zobrazuje postup výpočtu Laplaceovým rozvojem podle řádků/sloupců zvolených uživatelem. [619] => * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)] Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-8 [620] => [621] => {{Autoritní data}} [622] => {{Portály|Matematika}} [623] => [624] => [[Kategorie:Teorie matic]] [625] => [[Kategorie:Unární operátory]] [] => )

good wiki

Determinant

Absolutní hodnota determinantu matice 2 \times 2 udává obsah rovnoběžníku, jehož hrany určují sloupce (nebo řádky) matice. Determinant čtvercové matice je skalár, který je funkcí prvků matice.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Vlastní vektory a vlastní čísla','Cramerovo pravidlo','Gottfried Wilhelm Leibniz','Eukleidovský prostor','Regulární matice','Jacobiho matice a determinant','Sarrusovo pravidlo','Lineární zobrazení','jednotková matice','Karl Weierstrass','Vektorový prostor','rovnoběžnostěn'

Rovnoběžnostěn

Rovnoběžnostěn je geometrický útvar, který má všechny stěny rovnoběžné a stejně dlouhé.

Determinant

About

Expert Team

Award winning agency

10 Year Exp.

You might be interested in

Rovnoběžnostěn

Service

About us

Technology

Locations