Array ( [0] => 15489699 [id] => 15489699 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Hyperbola [uri] => Hyperbola [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => **Hyperbola** Hyperbola je jedním z konických řezů, což je geometrický útvar, který má široké uplatnění v mnoha oblastech matematiky, fyziky a inženýrství. Tento fascinující útvar vzniká při průsečíku kužele a roviny, přičemž má dvě větve, které se nikdy nesetkávají. Hyperbola je díky svým unikátním vlastnostem a symetriím zdrojem mnoha objevů, které pozitivně ovlivnily naši schopnost chápat svět kolem nás. Hyperboly se často vyskytují v přírodních jevech a technologiích. Například při modelování orbitálních drah planet a satelitů, hyperbola hraje klíčovou roli v astrofyzice a navigaci. V těchto aplikacích pomáhá hyperbola vysvětlit, jak se objekty pohybují ve vesmíru, a přispívá tak k našemu porozumění složitosti a kráse přírody. Matematické vlastnosti hyperboly ji činí užitečnou v mnoha dalších disciplínách. Například v oblasti optiky se hyperbolické zrcadla využívají k vytváření vysoce kvalitních obrazů, které nacházejí uplatnění ve vědeckých přístrojích i v průmyslu. Tyto inovace ukazují, jak matematické koncepty mohou přispět k technickému pokroku a zkvalitnění našich každodenních životů. Hyperbola je také inspirací pro kreativní i vědecké myšlení, pobízí k hledání nových řešení a zlepšení. Jejím studiem se rozvíjejí dovednosti analytického myšlení a schopnost řešit komplexní problémy, což je v dnešní dynamické době nezbytné. Zkrátka, hyperbola je nejen důležitým geometrickým útvarem, ale také symbolem toho, jak může matematika přispívat k našemu porozumění světu a obohacovat naše životy. [oai_cs_optimisticky] => **Hyperbola** Hyperbola je jedním z konických řezů, což je geometrický útvar, který má široké uplatnění v mnoha oblastech matematiky, fyziky a inženýrství. Tento fascinující útvar vzniká při průsečíku kužele a roviny, přičemž má dvě větve, které se nikdy nesetkávají. Hyperbola je díky svým unikátním vlastnostem a symetriím zdrojem mnoha objevů, které pozitivně ovlivnily naši schopnost chápat svět kolem nás. Hyperboly se často vyskytují v přírodních jevech a technologiích. Například při modelování orbitálních drah planet a satelitů, hyperbola hraje klíčovou roli v astrofyzice a navigaci. V těchto aplikacích pomáhá hyperbola vysvětlit, jak se objekty pohybují ve vesmíru, a přispívá tak k našemu porozumění složitosti a kráse přírody. Matematické vlastnosti hyperboly ji činí užitečnou v mnoha dalších disciplínách. Například v oblasti optiky se hyperbolické zrcadla využívají k vytváření vysoce kvalitních obrazů, které nacházejí uplatnění ve vědeckých přístrojích i v průmyslu. Tyto inovace ukazují, jak matematické koncepty mohou přispět k technickému pokroku a zkvalitnění našich každodenních životů. Hyperbola je také inspirací pro kreativní i vědecké myšlení, pobízí k hledání nových řešení a zlepšení. Jejím studiem se rozvíjejí dovednosti analytického myšlení a schopnost řešit komplexní problémy, což je v dnešní dynamické době nezbytné. Zkrátka, hyperbola je nejen důležitým geometrickým útvarem, ale také symbolem toho, jak může matematika přispívat k našemu porozumění světu a obohacovat naše životy. ) Array ( [0] => {{různé významy|tento=rovinné křivce|druhý=literárním pojmu|rozlišovač=literatura}} [1] => [2] => [[Soubor:Hyperbola (PSF).png|náhled|Hyperbola jako [[kuželosečka]].]] [3] => [4] => [[Soubor:Hyperbool.png|náhled|Ilustrace definice: ohniska (''B1'', ''B2''); bod hyperboly (''P''); vzdálenosti ohnisek (''d1'', ''d2'').]] [5] => [6] => '''Hyperbola''' je [[rovinná křivka]], [[kuželosečka]] s [[Excentricita dráhy|výstředností]] větší než 1. Lze ji také definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů v [[rovina|rovině]] o daném [[Odčítání|rozdílu]] [[vzdálenost]]í od dvou pevných [[ohnisko (geometrie)|ohnisek]]. [7] => [8] => Hyperbola také tvoří [[Graf (funkce)|graf funkce]] y=1/x v [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]]. [9] => [10] => Tvar hyperboly má dráha [[těleso|tělesa]] v poli [[centrální síla|centrální síly]] ([[gravitační pole|gravitační]] nebo [[elektrické pole]] vytvořené tělesem, které lze [[aproximace|aproximovat]] bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna [[sférická symetrie|sféricky symetrická]] tělesa pro [[prostor (geometrie)|prostor]] mimo jejich vnitřek), pokud je [[rychlost]] tohoto tělesa vyšší, než je [[úniková rychlost]]. [11] => [12] => == Matematická vyjádření == [13] => '''Implicitní vyjádření''' [14] => : \| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\! [15] => [[Množina]] všech [[bod]]ů X v [[rovina|rovině]], které mají od dvou různých [[ohnisko (geometrie)|ohnisek]] F_1 a F_2 [[konstanta|konstantní]] (neměnnou) [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]] rozdílu [[vzdálenost]]í. [16] => [17] => === Kartézský souřadnicový systém === [18] => [[Soubor:Hyperbola_kartezsky_system.GIF|náhled|vpravo|Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou ''y''.]] [19] => [20] => Standardní popis hyperboly: [21] =>
[22] => '''S[m, n]''' – Střed hyperboly o souřadnicích m, n
[23] => '''F1, F2''' – ohniska hyperboly
[24] => '''A, B''' – vrcholy hyperboly
[25] => '''o1''' – hlavní osa hyperboly
[26] => '''o2''' – vedlejší osa hyperboly
[27] => '''p1, p2''' – [[asymptota|asymptoty]] hyperboly
[28] => |AS| = |SB| = a \,\! – délka hlavní poloosy
[29] => |CS| = |SD| = b \,\! – délka vedlejší poloosy
[30] => |F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\! [[excentricita]]
[31] => |AB| = 2a \,\! – délka hlavní osy
[32] => |CD| = 2b \,\! – délka vedlejší osy
[33] => '''X[x, y]''' – libovolný bod náležící hyperbole [34] =>
[35] => Pokud a=b, pak dostáváme rovnici '''rovnoosé hyperboly'''. [36] => [37] => ==== Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění ==== [38] => * Hlavní osa o_1 hyperboly [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou x [39] => :''Středová [[rovnice]]'': [40] => :: {(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\! [41] => :''Obecná rovnice'': [42] => :: Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\! [43] => :''Rovnice [[asymptota|asymptot]]'': [44] => :: y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\! [45] => :''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě T[x_0, y_0]'': [46] => :: {(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\! [47] => [48] => * Hlavní osa o_1 hyperboly rovnoběžná s osou y [49] => :''Středová rovnice'': [50] => :: {(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\! [51] => :''Obecná rovnice'': [52] => :: - Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\! [53] => :''Rovnice [[asymptota|asymptot]]'': [54] => :: y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\! [55] => :''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě T[x_0, y_0]: [56] => :: {(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\! [57] => [58] => * [[asymptota|Asymptoty]] p_1, p_2 [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osami x a y [59] => [[Soubor:Función inversa.png|náhled|Asymptoty totožné s osami ''x'' a ''y'': ''y = 1/x'']] [60] => :''Středová rovnice'': [61] => :: (x - m)(y - n) = c \,\!
[62] => :: a = b = \sqrt{2|c|} \,\! [63] => :''Obecná rovnice'': [64] => :: xy + Ax + By + C = 0 \,\! [65] => :''Rovnice asymptot'': [66] => :: x = m, y = n \,\! [67] => [68] => ==== Převedení obecné rovnice na středovou ==== [69] => Uspořádáme členy v [[rovnice|rovnici]]. [70] => : 2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\! [71] => Z prvních dvou členů vytkneme dvojku ([[koeficient]]) a doplníme je na druhou [[mocnina|mocninu]] [[mnohočlen|dvojčlenu]]. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus. [72] => : 2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -\left[{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}\right] = {17\over 4} \,\! [73] => Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru. [74] => : 2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\! [75] => : 2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\! [76] => : {(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\! [77] => Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
[78] => Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa o_1 je rovnoběžná s osou x.
[79] => S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!, a = \sqrt{2} \,\!, b = 2 \,\!, [80] => e = \sqrt{6} \,\!, p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!, p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\! [81] => [82] => ==== Vzájemná poloha hyperboly a přímky ==== [83] => Řešíme [[soustava rovnic|soustavu rovnic]] hyperboly a [[přímka|přímky]]. [84] => Jestliže vyjde [[lineární rovnice]], která popisuje přímku [[rovnoběžky|rovnoběžnou]] [85] => s jednou z [[asymptota|asymptot]] – přímka je [[sečna|sečnou]] hyperboly s jedním [[průsečík]]em. [86] => Pakliže [[lineární rovnice]] nemá žádné řešení – přímka není [[sečna]]. [87] => Pokud vyjde [[kvadratická rovnice]] a [[diskriminant]] D je: [88] => * D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky [89] => * D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku [90] => * D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna [91] => [92] => ==== Vzájemná poloha hyperboly a bodu ==== [93] => Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou [94] => stranu ([[anulace rovnice|anulujeme rovnici]]) a dosadíme souřadnice bodu, [95] => pak bude platit: [96] => * výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole [97] => * výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve [[vnější rovina|vnější rovině]] hyperboly [98] => * výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve [[vnitřní rovina|vnitřní rovině]] hyperboly [99] => [100] => === Polární souřadnicový systém === [101] => Pro hyperbolu se středem ''S'' umístěným v počátku platí rovnice: [102] => :r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\! [103] => Pro hyperbolu s ohniskem ''F'' umístěným v počátku platí rovnice: [104] => :r = {a(\epsilon^2 -1)\over 1 - \epsilon \cos \theta } \,\! [105] => [106] => == Literatura == [107] => * Karel Rektorys a kolektiv: ''Přehled užité matematiky I'', Prometheus, Praha 1995, {{ISBN|80-85849-92-5}}, str. 102–103, 118–121 a 179–181 [108] => * Šárka Voráčová a kolektiv: ''Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná'', Academia, Praha 2012, {{ISBN|978-80-200-1575-4}}, str. 116–117 [109] => [110] => == Související články == [111] => * [[Geometrický útvar]] [112] => * [[Křivka]] [113] => * [[Parabola (matematika)]] [114] => * [[Elipsa]] [115] => * [[Kružnice]] [116] => * [[Mocninná křivka]] [117] => [118] => == Externí odkazy == [119] => * {{commonscat}} [120] => * [http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html Vyčerpávající popis hyperboly] [121] => [122] => {{kuželosečky}} [123] => [124] => {{Autoritní data}} [125] => {{Portály|Matematika}} [126] => [127] => [[Kategorie:Kuželosečky]] [] => )
good wiki

Hyperbola

Hyperbola jako kuželosečka. Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

More about us

About

Tento fascinující útvar vzniká při průsečíku kužele a roviny, přičemž má dvě větve, které se nikdy nesetkávají. Hyperbola je díky svým unikátním vlastnostem a symetriím zdrojem mnoha objevů, které pozitivně ovlivnily naši schopnost chápat svět kolem nás. Hyperboly se často vyskytují v přírodních jevech a technologiích. Například při modelování orbitálních drah planet a satelitů, hyperbola hraje klíčovou roli v astrofyzice a navigaci. V těchto aplikacích pomáhá hyperbola vysvětlit, jak se objekty pohybují ve vesmíru, a přispívá tak k našemu porozumění složitosti a kráse přírody. Matematické vlastnosti hyperboly ji činí užitečnou v mnoha dalších disciplínách. Například v oblasti optiky se hyperbolické zrcadla využívají k vytváření vysoce kvalitních obrazů, které nacházejí uplatnění ve vědeckých přístrojích i v průmyslu. Tyto inovace ukazují, jak matematické koncepty mohou přispět k technickému pokroku a zkvalitnění našich každodenních životů. Hyperbola je také inspirací pro kreativní i vědecké myšlení, pobízí k hledání nových řešení a zlepšení. Jejím studiem se rozvíjejí dovednosti analytického myšlení a schopnost řešit komplexní problémy, což je v dnešní dynamické době nezbytné. Zkrátka, hyperbola je nejen důležitým geometrickým útvarem, ale také symbolem toho, jak může matematika přispívat k našemu porozumění světu a obohacovat naše životy.

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'asymptota','rovnoběžky','bod','sečna','rovnice','lineární rovnice','rovina','vzdálenost','ohnisko (geometrie)','tečna','Geometrický útvar','průsečík'

Asymptota

Bod

Průsečík

Rovina

Rovnice

Rovnoběžky

Sečna

Tečna

Tečna je úsečka v geometrii, která je kolmá na danou přímku nebo křivku.

Vzdálenost