Array ( [0] => 15490818 [id] => 15490818 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Infimum [uri] => Infimum [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Infimum je v matematice označení pro nejmenší dolní závora množiny. Je definován jako největší prvek mezi všemi dolními závorami dané množiny. Infimum je tedy hranice, pod kterou se nemůže množina dostat. V článku je nejprve popsána definice infima a způsoby jeho vyjádření. Dále je vysvětleno, jak se infimum chová v různých třídách množin, například v omezených množinách, v množinách s horní a dolní hranicí nebo v nekonečných množinách. V další části článku je diskutováno použití infima v různých oblastech matematiky, jako jsou analýza, teorie množin nebo teorie uspořádání. Některé konkrétní příklady, jak se infimum využívá v těchto oblastech, jsou také popsány. Další část článku se zabývá vlastnostmi infima a jeho vztahy k dalším matematickým pojmům, například k supremu, limitě nebo derivaci. Jsou zde také diskutovány různé vlastnosti infima, jako je jednoznačnost, volitelnost nebo existenci. Na konci článku jsou uvedeny další informace a odkazy na další zdroje, které se zabývají infimem a jeho využitím v matematice. [oai] => Infimum je v matematice označení pro nejmenší dolní závora množiny. Je definován jako největší prvek mezi všemi dolními závorami dané množiny. Infimum je tedy hranice, pod kterou se nemůže množina dostat. V článku je nejprve popsána definice infima a způsoby jeho vyjádření. Dále je vysvětleno, jak se infimum chová v různých třídách množin, například v omezených množinách, v množinách s horní a dolní hranicí nebo v nekonečných množinách. V další části článku je diskutováno použití infima v různých oblastech matematiky, jako jsou analýza, teorie množin nebo teorie uspořádání. Některé konkrétní příklady, jak se infimum využívá v těchto oblastech, jsou také popsány. Další část článku se zabývá vlastnostmi infima a jeho vztahy k dalším matematickým pojmům, například k supremu, limitě nebo derivaci. Jsou zde také diskutovány různé vlastnosti infima, jako je jednoznačnost, volitelnost nebo existenci. Na konci článku jsou uvedeny další informace a odkazy na další zdroje, které se zabývají infimem a jeho využitím v matematice. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Infimum''' (někdy též ''průsek'') je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který je často používán především při zkoumání vlastností [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Infimum je zaváděno jako alternativa k pojmu [[nejmenší prvek]], oproti nejmenšímu prvku je však dohledatelné u více množin – například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají nejmenší prvek, ale mají infimum. [1] => [2] => [[Dualita pojmů|Duálním pojmem]] (opakem) infima je [[supremum]]. [3] => [4] => == Obecná definice == [5] => Předpokládejme, že množina X \,\! je [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] R \,\! . O prvku a \isin X \,\! řekneme, že je '''infimum''' [[podmnožina|podmnožiny]] Y \subseteq X \,\! , pokud je to [[největší prvek]] množiny všech [[dolní závora|dolních závor]] množiny Y \,\! . Tuto skutečnost značíme
[6] => a = \operatorname{inf}_R(Y) \,\! [7] => [8] => == Infimum v množině reálných čísel == [9] => Infimum má každá [[omezená množina|zdola omezená množina]], přestože ne každá má [[minimum]] (nejmenší prvek). Například otevřený [[interval (matematika)|interval]] I = (a,b) \,\! minimum nemá (pro každé c \in I \,\! můžeme nalézt d:c > d > a \,\!), ovšem jeho infimem je právě a \,\! (jde o dolní závoru a jakékoliv větší číslo již dolní závorou není – lze argumentovat podobně jako u minima). [10] => [11] => Zdola neomezené množiny infimum nemají. Například otevřený interval I = (-\infty,a) \,\! nemá infimum v množině \mathbb{R} \,\! všech reálných čísel. [12] => [13] => Pokud má množina [[minimum]] M \,\! má i infimum K \,\!, pro které platí, že K = M \,\!. [14] => [15] => == Obecné vlastnosti a další příklady == [16] => === Vztah infima a nejmenšího prvku === [17] => Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je infimum zobecněním pojmu nejmenšího prvku. Pokud má množina nejmenší prvek, je tento nejmenší prvek zároveň jejím infimem. Naopak to však platit nemusí – prvním takovým příkladem je výše uvedený zdola omezený otevřený interval na množině reálných čísel. [18] => [19] => Pokud infimum existuje, pak je určeno jednoznačně – množina nemůže mít dvě různá infima. To je dáno tím, že největší prvek (tedy i největší prvek množiny dolních závor – infimum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen. [20] => [21] => === Infimum podle dělitelnosti === [22] => Uvažujme o množině \mathbb{Z}^+ \,\! všech kladných celých čísel a relaci R \,\! danou vztahem a \leq_R b \Leftrightarrow a \mid b \,\! (tj. číslo a \,\! je menší nebo rovné číslu b \,\! podle R \,\! , pokud číslo a \,\! dělí číslo b \,\! ). [23] => [24] => Každá konečná podmnožina \mathbb{Z}^+ \,\! má infimum – infimem je v tomto případě [[největší společný dělitel]]. Zdaleka ne každá množina má ale nejmenší prvek – například \{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+ \,\! nemá nejmenší prvek, protože neplatí ani 4 \leq_R 6 \,\! , ani 6 \leq_R 4 \,\! . Přitom ale \operatorname{inf}_R \{ 4,6,8 \} = 2 \,\! . [25] => [26] => === Infimum na množině racionálních čísel === [27] => Jak již bylo uvedeno výše, má každá zdola omezená množina reálných čísel infimum. Zdálo by se, že množina \mathbb{Q} \,\! [[Racionální číslo|racionálních čísel]] je množině reálných čísel hodně podobná – je také [[Husté uspořádání|hustě uspořádaná]] podle velikosti. Přesto ale existují zdola omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) infimum. [28] => [29] => Příkladem takové množiny je
[30] => : \{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 > 2 \;\land\; x > 0 \} \,\!
[31] => Lze poměrně snadno ověřit, že v množině \mathbb{Q} \,\! nemá tato množina infimum. Pokud bychom uvažovali o infimu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe – infimem by byla odmocnina ze dvou. [32] => [33] => == Odkazy == [34] => === Související články === [35] => * [[Supremum]] [36] => * [[Nejmenší prvek]] [37] => * [[Maximální a minimální prvek|Minimální prvek]] [38] => * [[Dedekindův řez]] [39] => === Externí odkazy === [40] => * {{MathWorld|id=Infimum}} [41] => [42] => {{Portály|Matematika}} [43] => [44] => [[Kategorie:Algebra]] [45] => [[Kategorie:Teorie uspořádání]] [] => )
good wiki

Infimum

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'minimum','Binární relace','Kategorie:Algebra','Maximální a minimální prvek','Supremum','Racionální číslo','největší společný dělitel','interval (matematika)','omezená množina','dolní závora','největší prvek','podmnožina'

Kategorie:Algebra

Minimum

Podmnožina

Supremum

Supremum je matematický pojem, který se používá v oboru reálné analýzy, teorie uspořádání a funkcionální analýzy.