Array ( [0] => 15482839 [id] => 15482839 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Integrál [uri] => Integrál [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Integrál''' je jeden ze základních pojmů [[matematika|matematiky]]. Spolu s [[derivace|derivací]] tvoří dvě hlavní [[Operace (matematika)|operace]] [[Matematická analýza|matematické analýzy]], integrace je [[Inverzní zobrazení|inverzní]] operace derivace. Pojmem integrál rozumíme určitý nebo neurčitý integrál. Jedná se o dvě odlišné koncepce, které spolu úzce souvisí. Slovo ''integrál'' zavedl [[Johann Bernoulli]]. Znak integrálu ∫ pochází z latinského slova ''ſumma'' ([[Sumace|součet]]) psaného s [[Dlouhé s|dlouhým s]]. Toto značení vytvořil [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]. V [[Geometrie|geometrii]] se používají tzv. [[Křivkový integrál|křivkové]] resp. [[Plošný integrál|plošné]] integrály umožňující určit délku křivky či obsah plochy křivkou uzavřené resp. povrch či objem ([[Gaussova věta]]) trojrozměrných útvarů. Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě [[Isaac Newton|Isaacem Newtonem]] a [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfriedem Leibnizem]] na konci 17. století, kteří nezávisle formulovali [[Základní věta integrálního počtu|základní větu analýzy]], díky níž spojili [[Diferenciální počet|diferenciální]] a [[integrální počet]]. [1] => [2] => == Neurčitý integrál == [3] => {{Podrobně|Primitivní funkce}} [4] => Neurčitý integrál funkce je množina jejích [[Primitivní funkce|primitivních funkcí]], lišících se v hodnotě přičítané konstanty. Používá se zejména k výpočtu určitého integrálu s využitím [[Základní věta integrálního počtu|základní věty integrálního počtu]] a při řešení [[Diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]]. Neurčitý integrál je opak derivace a proto umožňuje z rychlosti měnící se veličiny určit časový průběh této veličiny. Ke každé funkci f [[Spojitá funkce|spojité]] na [[Interval (matematika)|intervalu]] (a,b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Neurčitý integrál zapisujeme: [5] => [6] => F(x) = \int f(x)\,\mathrm{d}x\,+\,C [7] => [8] => kde C je libovolná konstanta a \mathrm{d}x označuje [[infinitezimální hodnota|infinitezimální hodnotu]] proměnné, podle které se integruje. Pokud by funkce F byla posunutá o konstantu C nahoru nebo dolů, její derivace bude pořád stejná. Výpočet neurčitého integrálu funkce f je úloha hledání její primitivní funkce F, jejíž derivace je integrovaná funkce: [9] => [10] => \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int f(x)\,\mathrm{d}x\,+\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,C = f(x) [11] => [12] => Při hledání primitivní funkce se používají různé integrační techniky, například [[integrace per partes]], [[substituční metoda (integrování)|substituční metoda]], [[rozklad na parciální zlomky]]. [13] => [14] => == Určitý integrál == [15] => [[Soubor:Integral as region under curve.svg|náhled|Integrál jako plocha pod křivkou]] [16] => {{Viz též|Určitý integrál}} [17] => [18] => Určitý integrál lze chápat geometricky jako obsah plochy pod křivkou danou [[Graf funkce|grafem ]] nezáporné funkce na daném intervalu. Určitý integrál spojité funkce f na intervalu \langle a,b\rangle zapisujeme užitím [[Základní věta integrálního počtu|základní věty integrálního počtu]]: [19] => [20] => \int_a^b \! f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) [21] => [22] => kde a a b jsou integrační meze, tj. výsledkem výpočtu určitého integrálu je číslo, na rozdíl od neurčitého integrálu, kde výsledkem výpočtu je funkce. Existují různé definice určitého integrálu podle formulace integrálních součtů, tj. existují různé určité integrály, např.: [23] => [24] => * [[Newtonův integrál]], definovaný pomocí neurčitého integrálu, [25] => * [[Riemannův integrál]], definovaný pomocí geometrické interpretace plochy pod křivkou, [26] => * [[Lebesgueův integrál]], definovaný pomocí [[teorie míry]]. [27] => [28] => Jednotlivé integrály se liší množinou funkcí, které jsou ve smyslu jednotlivých definic integrovatelné. Pokud však je funkce integrovatelná ve smyslu více definic, pak je hodnota integrálu stejná, definice jsou pak na daných definičních oborech ekvivalentníVěta pro Riemannův integrál a Lebesgueův integrál, V. I. Bogachev: Measure Theory, Springer. - http://web.science.upjs.sk/jozefdobos/wp-content/uploads/2012/04/nevlastny.pdf, slovensky, v praxi a v základních kurzech matematiky se zpravidla pod pojmem určitý integrál rozumí Newtonův nebo Riemannův integrál. [29] => [30] => == Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem == [31] => [[Soubor:Что такое интеграл Анимация.gif|náhled|Animace souvislosti plochy pod grafem funkce (určitý integrál) a primitivní funkcí (neurčitý integrál).]] [32] => {{Podrobně|Základní věta integrálního počtu|Riemannův integrál}} [33] => [34] => * Určitý integrál zpravidla počítáme pomocí [[Základní věta integrálního počtu|základní věty integrálního počtu]] jako změnu primitivní funkce na uvažovaném intervalu. V tomto smyslu je možno určitý integrál vyjadřovat pomocí neurčitého integrálu. [35] => * Vztahem F(x) = \int_a^x f(t) \ \mathrm{d}t je možno definovat primitivní funkci k funkci f pomocí [[Riemannův integrál|Riemannova integrálu]]. Toto se využívá v případech, kdy primitivní funkce není [[Elementární funkce|elementární funkcí]], například [[integrálsinus]]. V takovém případě bývá obvyklé použít k výpočtu integrálu [[Numerická integrace|numerickou integraci]]. [36] => [37] => == Zobecnění určitého integrálu == [38] => [39] => === Nevlastní integrál === [40] => {{Podrobně|Nevlastní integrál}} [41] => [42] => Určitý integrál, ve kterém je buď neohraničený interval (alespoň jedna z integračních mezí v nekonečnu) nebo neohraničená funkce (nespojitá nebo jdoucí v daném intervalu do nekonečna). [43] => [44] => === Křivkový integrál === [45] => {{Podrobně|Křivkový integrál}} [46] => Křivkový integrál je integrál [[Skalární pole|skalárního]] nebo [[Vektorové pole|vektorového]] pole počítaný podél [[Křivka|křivky]]. [47] => [48] => === Plošný integrál === [49] => {{Podrobně|Plošný integrál}} [50] => Plošný integrál je integrál [[Skalární pole|skalárního]] nebo [[Vektorové pole|vektorového]] pole počítaný podél [[Křivka|křivky]] ohraničující nějakou [[Plocha|plochu]]. [51] => [52] => === Vícerozměrný integrál === [53] => {{Podrobně|Vícerozměrný integrál}} [54] => Integraci funkce více proměnných probíhá vždy na určité oblasti \displaystyle\Omega. Je-li \displaystyle f(x_1,x_2,...,x_n) funkcí \displaystyle n nezávisle proměnných, pak její integrál na určité \displaystyle n-rozměrné oblasti \displaystyle\Omega označujeme jako n-rozměrný integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů: [55] => [56] => :{\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x. [57] => [58] => Počet integračních znaků \int odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak: [59] => [60] => :\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,. [61] => [62] => Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí [[Fubiniova věta|Fubiniovy věty]]. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál. [63] => [64] => === Komplexní integrál === [65] => V [[komplexní rovina|komplexní rovině]] se užívají [[křivkový integrál|křivkové integrály]]. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené [[křivka|křivce]] ležící v komplexní rovině, lze je vypočítat pomocí [[Reziduum (matematika)|reziduové věty]], [[Cauchyův vzorec|Cauchyova vzorce]] nebo [[Cauchyova–Goursatova věta|Cauchyovy věty]]. [66] => [67] => == Aplikace == [68] => {{Podrobně|Aplikace integrálu}} [69] => Pomocí určitého integrálu lze určit např. [[obsah]] [[rovina|rovinného]] obrazce, [[délka|délku]] oblouku [[křivka|křivky]], [[povrch]] nebo [[objem]] [[rotační těleso|rotačního tělesa]]. Integrály se využívají při řešení [[Obyčejná diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] či v [[Teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]]. Ve [[fyzika|fyzice]] integrál můžeme použít při výpočtu např. [[Moment hybnosti|momentů hybnosti]], [[Moment setrvačnosti|momentů setrvačnosti]], [[těžiště]] [[hmotnost|hmotného]] tělesa, či výpočtu vykonané [[práce (fyzika)|práce]] podél dráhy, rovné křivkovému integrálu [[vektor]]u [[síla|síly]] podle dráhy. [70] => [71] => == Odkazy == [72] => === Reference === [73] => [74] => [75] => === Literatura === [76] => * [[Karel Rektorys|Rektorys, K.]] a spol.: ''Přehled užité matematiky I.''. Prometheus, Praha, [[2003]], 7. vydání. {{ISBN|80-7196-179-5}} [77] => [78] => === Související články === [79] => * [[primitivní funkce]] [80] => * [[určitý integrál]] [81] => * [[nevlastní integrál]] [82] => * [[vícerozměrný integrál]] [83] => * [[Newtonův integrál]] [84] => * [[Riemannův integrál]] [85] => * [[Lebesgueův integrál]] [86] => * [[Gaussův integrál]] [87] => * [[diferenciální rovnice]] [88] => * [[integrální rovnice]] [89] => * [[integrál pohybu]] [90] => * [[hlavní hodnota integrálu]] [91] => * [[numerická integrace]] [92] => [93] => === Externí odkazy === [94] => * {{Commonscat}} [95] => * {{Wikislovník|heslo=integrál}} [96] => * {{Wikiknihy|kniha=Integrování}} [97] => * [https://web.archive.org/web/20130325084513/http://integrals.wolfram.com/index.jsp Online výpočet integrálu] [98] => * [https://www.integral-calculator.com Online integrační kalkulačka s postupem] [99] => [100] => {{Autoritní data}} [101] => {{Portály|Matematika}} [102] => [103] => [[Kategorie:Integrální počet]] [] => )
good wiki

Integrál

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy, integrace je inverzní operace derivace.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Základní věta integrálního počtu','Riemannův integrál','Lebesgueův integrál','Newtonův integrál','Křivka','Skalární pole','křivka','Gottfried Wilhelm Leibniz','Vektorové pole','Moment hybnosti','rotační těleso','práce (fyzika)'

Křivka