Array ( [0] => 15481536 [id] => 15481536 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Limita [uri] => Limita [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{různé významy|tento=limitě funkce nebo zobrazení|druhý=limitě a kolimitě v teorii kategorií|stránka=Limita (teorie kategorií)}} [1] => [[Soubor:Limit-at-infinity-graph.png|náhled]] [2] => '''Limita''' je [[matematika|matematická]] konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané [[funkce (matematika)|funkce]] nebo [[posloupnost]]i blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \lim_{x\rightarrow a} f(x)=A a u posloupností \lim_{n\to\infty} a_n=A. [3] => [4] => Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o [[limita funkce|limitě funkce]] nebo [[limita posloupnosti|limitě posloupnosti]]. Pojem limity lze definovat na [[Reálné číslo|reálných číslech]], obecnější definice má smysl na libovolném [[metrický prostor|metrickém prostoru]] a ještě obecnější definice na libovolném [[Topologický prostor|topologickém prostoru]]. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem). [5] => [6] => == Limita funkce == [7] => {{Podrobně|Limita funkce}} [8] => Číslo A \in \R je '''limitou funkce''' f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} v bodě a \in \R, jestliže pro libovolné \varepsilon >0 existuje \delta > 0 takové, že pro každé x \in D_f takové, že 0 < \left| x-a \right|< \delta (x leží v [[Okolí (matematika)|prstencovém okolí]] bodu a) platí \left| f(x)-A \right|< \varepsilon. [9] => [10] => == Limita posloupnosti == [11] => {{Podrobně|Limita posloupnosti}} [12] => Číslo A \in \R je '''limitou posloupnosti''' \{a_n\}_{n=1}^\infty, jestliže pro libovolné \varepsilon > 0 existuje n_0 \in \N takové, že pro každé n \geq n_0 platí |a_n - A| < \varepsilon. [13] => [14] => == Limita v metrickém prostoru == [15] => Prvek x [[metrický prostor|metrického prostoru]] X s metrikou \rho je '''limitou posloupnosti''' jeho prvků \{x_n\}_{n=1}^\infty, právě když platí \lim_{n\rightarrow \infty} \rho(x_n,x)=0. [16] => [17] => == Limita v topologickém prostoru == [18] => '''Limita zobrazení''' f:A \to B mezi [[topologický prostor|topologickými prostory]] A a B je v bodě a \in A definována jako b \in B takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že x \in O(a) implikuje f(x) \in O(b). [19] => [20] => Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítíMichael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3). Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v [[Hausdorffův prostor|Hausdorffově prostoru]] je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu. [21] => [22] => == Nevlastní limita v nevlastním bodě == [23] => Pokud pro libovolné číslo \varepsilon>0 lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než \varepsilon, říkáme, že '''posloupnost roste nade všechny meze''' neboli že má '''nevlastní limitu''' +\infty. Obdobně se definuje nevlastní limita -\infty. [24] => [25] => Pokud pro libovolné číslo \varepsilon>0 lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než \varepsilon, říkáme, že v okolí bodu a '''funkce roste nade všechny meze''' neboli že má '''nevlastní limitu''' +\infty. Obdobně se definuje nevlastní limita -\infty. [26] => [27] => Limitou tedy může být nejen [[reálné číslo]], ale i +\infty nebo -\infty ([[Rozšířená reálná čísla|rozšířené reálné číslo]]). [28] => [29] => Pokud se hodnoty limity neliší od čísla A o více než libovolné číslo \varepsilon>0, má funkce v '''nevlastním bodě''' +\infty '''vlastní limitu''' A. Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo \varepsilon>0, má funkce v '''nevlastním bodě''' +\infty '''nevlastní limitu''' +\infty. Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě -\infty. [30] => [31] => V každém z nevlastních bodů +\infty nebo -\infty může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů +\infty nebo -\infty, je funkce [[sinus]]. [32] => [33] => == Příklady == [34] => [35] => Soubor:Sinc function (unnormalized).svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula. [36] => Soubor:Graph of function 1 to minus 1 in Neighbourhood of zero.svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty. [37] => Soubor:1 to minus 2.svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu \scriptstyle +\infty \,\! v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty. [38] => [39] => [40] => * Funkce {\sin x}\over x \,\! není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1{{poznámka|1=To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce ''sin x'' má v okolí nuly „velmi podobný“ průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné. ([[L'Hospitalovo pravidlo]])}} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v +\infty \,\! má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě). [41] => * Funkce {\sin {1\over x}} \,\! ani {\sin {1\over x}}\over x \,\! v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích {1\over x}\,\! či {1\over x^3}\,\!, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je +\infty \,\! a levostranná -\infty \,\!. [42] => * Funkce {1\over x^2}\,\! a {1\over x^4}\,\! mají v nule limitu +\infty \,\! (nevlastní limita ve vlastním bodě). [43] => * Funkce {\sin x} \,\! má v nule limitu 0 a v +\infty \,\! limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci {x \cdot \sin x} \,\!. [44] => * Funkce e^x\,\! má v -\infty \,\! limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v +\infty \,\! limitu +\infty \,\!. [45] => [46] => == Poznámky == [47] => {{poznámky}} [48] => [49] => == Reference == [50] => [51] => [52] => == Související články == [53] => * [[Limita funkce]] [54] => * [[Limita posloupnosti]] [55] => * [[Okolí (matematika)]] [56] => [57] => == Externí odkazy == [58] => * {{Commonscat}} [59] => * {{Otto|heslo=Limita}} [60] => [61] => {{Autoritní data}} [62] => {{Portály|Matematika}} [63] => [64] => [[Kategorie:Limity (matematika)]] [] => )
good wiki

Limita

náhled Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'metrický prostor','Okolí (matematika)','Kategorie:Limity (matematika)','matematika','funkce (matematika)','posloupnost','limita funkce','limita posloupnosti','Reálné číslo','Soubor:Limit-at-infinity-graph.png','Topologický prostor','topologický prostor'

Matematika

Posloupnost