Array ( [0] => 14683021 [id] => 14683021 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Odmocnina [uri] => Odmocnina [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Odmocnina je matematická operace, která je opakem mocnění. Určuje takové číslo, které umocněno na určitou hodnotu dává původní číslo. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla, jakož i pro zlomky s nezápornými hodnotami. Odmocnina čísla je výsledek umocnění, jakož i operace odmocnění samotné. Odmocnina se značí pomocí speciálního matematického symbolu, který připomíná obrácenou výseč zátulky. Ve tvaru zlomku se odmocnina zapisuje pomocí zlomku, kde v čitateli je označení odmocniny a v jmenovateli je odmocňované číslo. Odmocnina čísela může být buď celé číslo, nebo iracionální číslo, které nejde vyjádřit pomocí konečného desetinného rozvoje. Odmocnina je základní matematická operace považovaná za odvětví algebry. [oai] => Odmocnina je matematická operace, která je opakem mocnění. Určuje takové číslo, které umocněno na určitou hodnotu dává původní číslo. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla, jakož i pro zlomky s nezápornými hodnotami. Odmocnina čísla je výsledek umocnění, jakož i operace odmocnění samotné. Odmocnina se značí pomocí speciálního matematického symbolu, který připomíná obrácenou výseč zátulky. Ve tvaru zlomku se odmocnina zapisuje pomocí zlomku, kde v čitateli je označení odmocniny a v jmenovateli je odmocňované číslo. Odmocnina čísela může být buď celé číslo, nebo iracionální číslo, které nejde vyjádřit pomocí konečného desetinného rozvoje. Odmocnina je základní matematická operace považovaná za odvětví algebry. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Inverse Square Graph.png|náhled|Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)]] '''Odmocňování''' v [[matematika|matematice]] je částečně [[Inverzní zobrazení|inverzní operací]] k [[umocňování]], '''odmocnina''' je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů ([[číslo|čísel]], [[matice|matic]], [[Funkce (matematika)|funkcí]]…), pak ''n''-tá odmocnina z objektu ''a'', označovaná jako \sqrt[n]{a}, je definována jako objekt ''b'', pro který platí b^{n}=a. Číslo ''n'' se přitom nazývá ''odmocnitel'' a číslo ''a'' ''odmocněnec''. Speciálním případem je [[druhá odmocnina]], která se často označuje jen jako ''odmocnina'' a značí \sqrt{a}. [1] => [2] => Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru [[Reálné číslo|reálných čísel]]), anebo může naopak existovat více různých odmocnin. [3] => [4] => == Odmocnina z reálného čísla == [5] => V oboru reálných čísel je ''n''-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně: [6] => [7] => Pro libovolné ''n'' ∈ '''N''' definujeme ''n'' '''odmocninu''' z nezáporného reálného čísla ''a'' jako nezáporné reálné číslo ''b'', pro které platí b^{n}=a. Značíme b = \sqrt[n]{a}. [8] => [9] => Pro ''n'' = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto: [10] => [11] => '''Druhá odmocnina''' z nezáporného reálného čísla ''a'' je nezáporné reálné číslo ''b'', pro které platí, že b \cdot b=a. Značíme b=\sqrt{a}. [12] => [13] => Přestože platí například 2 \cdot 2=4 a současně také (-2) \cdot (-2)=4, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto \sqrt{4}=2. [14] => [15] => Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například x^{2}-4=0. [16] => V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: x_{1}=2 a x_{2}=-2. [17] => [18] => === Odmocnina z nezáporného čísla === [19] => Pokud ''a'', ''b'' jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, ''m'', ''n'' jsou [[Přirozené číslo|přirozená čísla]] a ''k'' je číslo celé, pak pro ''n'' odmocninu platí tyto vzorce: [20] => : [21] => \sqrt[n]{0} = 0 [22] => [23] => [24] => : [25] => \sqrt[n]{1} = 1 [26] => [27] => [28] => : [29] => \sqrt[1]{a} = a [30] => [31] => [32] => : [33] => \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0 [34] => [35] => [36] => :\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0 [37] => [38] => : [39] => \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} [40] => [41] => [42] => : [43] => (\sqrt[m]{a}) \sqrt[n]{a} = \sqrt[mn]{a^{(m+n)}} [44] => [45] => [46] => [47] => : [48] => \sqrt[n]{a^k} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^k = a^{\frac{k}{n}} \qquad a > 0 [49] => [50] => [51] => === Odmocnina ze záporného čísla === [52] => Pokud ''a'' je nezáporné číslo, ''m'' je přirozené číslo nebo nula a ''n'' je ve tvaru n=2m+1 (tedy je to liché číslo), pak platí: [53] => [54] => : [55] => \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} [56] => [57] => [58] => === Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla === [59] => ''N'' odmocninu z nezáporného čísla ''a'' můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto: [60] => [61] => : [62] => \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} [63] => [64] => [65] => Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou [66] => a^n . A platí tyto vztahy: [67] => :a^m a^n = a^{m+n} \, [68] => [69] => :\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \qquad b > 0 [70] => [71] => :(a^m)^n = a^{mn} \, [72] => [73] => Příklady použití: [74] => :\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15} [75] => [76] => :\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{2 - 1}{4} = a^\frac{1}{4} [77] => [78] => == Odmocnina z komplexního čísla == [79] => Pro výpočet ''n''-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované [[komplexní číslo]] ''z'' v [[goniometrický tvar komplexního čísla|goniometrickém tvaru]] jako z=|z|( \cos \phi + i \sin \phi) , případně v exponenciálním tvaru jako z=|z|e^{i\phi} . [80] => [81] => Potom hledaná odmocnina je [82] => [83] => \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}e^{i(\phi+2k\pi)/n} = \sqrt[n]{|z|}\Bigl( \cos {\frac{\phi+2k\pi}{n}} + i \sin {\frac{\phi+2k\pi}{n}}\Bigr) , [84] => [85] => kde ''k'' je libovolné celé číslo. [86] => [87] => Různých ''n''-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě ''n''. [88] => Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze [[imaginární číslo|imaginární]] čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou [[imaginární jednotka]] ''i'' a číslo -''i''. [89] => [90] => == Symbol pro odmocninu == [91] => Vysvětlení původu znaku pro odmocninu (\sqrt{\,\,}) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u [[Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádí]]ho (1421–1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. [[Kořen (matematika)|kořen řešení]] [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]])Juškevič A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 1977, str. 266 - 267. [92] => [93] => Ale mnozí, včetně matematika [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]],Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (in Latin). se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen. [94] => [95] => Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle ''Die Coss'' od německého matematika [[Christoffer Rudolff|Christoffera Rudolffa]].Juškevič A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 1977, str. 409. [96] => [97] => == Související články == [98] => * [[Druhá odmocnina]] [99] => * [[Umocňování|Mocnina]] [100] => * [[Babylónská metoda]] - iterační algoritmus pro výpočet odmocniny [101] => [102] => == Reference == [103] => [104] => [105] => == Externí odkazy == [106] => * {{Wikislovník|heslo=odmocnina}} [107] => {{Autoritní data}} [108] => [109] => [[Kategorie:Algebra]] [] => )
good wiki

Odmocnina

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Soubor:Inverse Square Graph.png','Reálné číslo','Babylónská metoda','Druhá odmocnina','Leonhard Euler','Kořen (matematika)','Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádí','imaginární jednotka','imaginární číslo','goniometrický tvar komplexního čísla','komplexní číslo','Přirozené číslo'