Array ( [0] => 15486379 [id] => 15486379 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Polynom [uri] => Polynom [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Polynom''' (též '''mnohočlen''') je výraz ve tvaru [1] => :p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n, [2] => kde a_n \neq 0. [[číslo|Čísla]] a_0, a_1, ..., a_n se nazývají ''koeficienty polynomu''. [3] => [4] => == Stupeň polynomu == [5] => Stupněm polynomu ''p(x)'' rozumíme nejvyšší exponent proměnné ''x'' s nenulovým koeficientem, značíme jej ''st. p(x)'' nebo ''deg p(x)''. Stupeň kvadratického polynomu (např. ''p(x) = x2 – 3x'') je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. ''p(x) = 7'') je 0. Pro nulový polynom (''p(x) = 0'') se jeho stupeň definuje ''deg p(x) ='' -\infty. [6] => [7] => == Příklady polynomů == [8] => * p(x) = 8 x + 3 je polynom 1. stupně (lineární polynom) [9] => * p(x) = 3 x^2 + 2 x - 2 je polynom 2. stupně (kvadratický polynom) [10] => * p(x) = 3 x^3 - 8 x je polynom 3. stupně (kubický polynom) [11] => [12] => == Operace s polynomy == [13] => Mějme polynom n-tého stupně f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_n \neq 0, a polynom m-tého stupně g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i, b_m \neq 0. [14] => [15] => * Oba polynomy se vzájemně [[rovnost (matematika)|rovnají]], tzn. f(x) = g(x) pro všechna x pouze tehdy, je-li n = m a pro každé i = 1, 2, ..., n platí a_i = b_i. [16] => [17] => * [[sčítání|Sečtením]] polynomů f(x) a g(x) získáme polynom [18] => :h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^r (a_i + b_i) x^i, [19] => kde r = max(n,m). Stupeň výsledného polynomu je \leq r. (Odpovídající koeficienty polynomů f(x) a g(x) mohou v součtu dávat 0.) [20] => [21] => * [[Násobení|Součin]] polynomů f(x), g(x) je polynom f(x) \cdot g(x), který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je s = n + m. [22] => [23] => * Platí tedy, že \sum_{i=0}^n a_i x^i \cdot \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{n+m} (\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}) x^i . [24] => [25] => * Je-li kde n \geq m, pak existují právě dva polynomy r(x), s(x) takové, že platí [26] => :f(x) = g(x) r(x) + s(x) [27] => kde s(x) má stupeň menší než m nebo je nulovým polynomem. Pokud s(x) je nulový polynom, pak říkáme, že polynom f(x) je [[dělitelnost|dělitelný]] polynomem g(x). [28] => [29] => * Polynomy tvoří [[vektorový prostor]]. [30] => [31] => === Hornerovo schéma === [32] => Polynom p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i} lze zapsat ve tvaru [33] => :p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0 [34] => Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu p(x) v bodě x postupem, který bývá označován jako [[Hornerovo schéma]]. Zapíšeme-li [35] => :c_n = a_n, [36] => :c_{n-1} = c_n x + a_{n-1}, [37] => :c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2}, [38] => :… [39] => :c_0 = c_1 x + a_0, [40] => pak poslední číslo c_0 představuje právě hodnotu polynomu p(x) v bodě x. [41] => [42] => === Příklady === [43] => * Mějme polynomy f(x) = x^4 - x, g(x) = x^3 - 2 x + 1 [44] => [45] => :f(x) + g(x) = x^4 - x + x^3 - 2x + 1 = x^4 + x^3 - 3 x + 1 [46] => :f(x) \cdot g(x) = (x^4 - x)(x^3 - 2x + 1) = x^7 - 2x^5 + x^4 - x^4 + 2x^2 - x = x^7 - 2x^5 + 2x^2 - x [47] => [48] => * Pokusme se zjistit, zda je polynom f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1 dělitelný polynomem g(x) = x^2 + 1. [49] => [50] => Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu f(x) členem s nejvyšší mocninou polynomu g(x), tzn. \frac{x^4}{x^2} = x^2. První člen polynomu r(x) tedy bude x^2. Tímto členem vynásobíme polynom g(x) (dostaneme tedy x^4 + x^2) a výsledek odečteme od polynomu f(x), čímž získáme nový polynom f_1(x) = f(x) - (x^4 + x^2) = - 4x^2 + 2x + 1. [51] => [52] => Nejvyšší člen polynomu f_1(x) opět dělíme nejvyšším členem polynomu g(x), tzn. \frac{-4 x^2}{x^2} = -4, tzn. další člen polynomu r(x) je -4. Tímto členem opět násobíme polynom g(x), tzn. získáme -4 x^2 - 4, a výsledek odečteme od polynomu f_1(x). Získáme nový polynom f_2(x) = 2 x + 5. [53] => [54] => Stupeň polynomu f_2(x) je však nižší než stupeň polynomu g(x), proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom f_2(x) tedy odpovídá polynomu s(x). [55] => [56] => Výsledek tedy je [57] => :f(x) = x^4 - 3 x^2 + 2 x + 1 = g(x) r(x) + s(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 4) + (2 x + 5), [58] => tzn. r(x) = x^2 - 4 a s(x) = 2x + 5. [59] => [60] => Vzhledem k tomu, že s(x) \neq 0, není polynom f(x) dělitelný polynomem g(x). [61] => [62] => == Kořen polynomu == [63] => Číslo \alpha se nazývá '''kořen polynomu''' p(x), jestliže platí [64] => :p(\alpha) = 0 [65] => Této skutečnosti, společně se [[základní věta algebry|základní větou algebry]], se využívá při řešení [[algebraická rovnice|algebraických rovnic]]. [66] => [67] => === Vlastnosti === [68] => * Je-li \alpha kořenem polynomu p(x) stupně n \geq 1, pak [69] => :p(x) = (x - \alpha) g(x), [70] => kde g(x) je polynom stupně n - 1. [71] => [72] => * Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze k kořenů polynomu n-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom p(x) na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu g(x) stupně n-k, tzn. [73] => :p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x), [74] => kde \alpha_i představují známé kořeny polynomu p(x). Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu p(x) stačí hledat pouze kořeny polynomu g(x), tzn. řešit rovnici g(x) = 0, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu p(x). Polynom g(x) získáme z polynomu p(x) jeho vydělením výrazem (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k). [75] => [76] => === Rozklad na kořenové činitele === [77] => * Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom p(x) stupně n \geq 1 lze zapsat ve tvaru [78] => :p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n), [79] => kde \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n jsou kořeny polynomu p(x). Členy (x - \alpha_i) označujeme jako ''kořenové činitele''. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité). [80] => [81] => === Násobnost kořene === [82] => * Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát [83] => :f(x) = a_n (x - \alpha_1)^{k_1} \cdot (x -\alpha_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x - \alpha_n)^{k_n}, [84] => kde k_1+k_2+...+k_n=n, přičemž k_i jsou [[přirozené číslo|přirozená čísla]]. Čísla k_i určují ''násobnost kořene'' \alpha_i, tzn. kolikrát se kořen \alpha_i vyskytuje v řešení polynomu. [85] => [86] => * Pokud má polynom stupně n \geq 1 s [[reálné číslo|reálnými]] koeficienty k-násobný kořen \alpha = a + i b, má také k-násobný kořen \overline{\alpha} = a - i b. To má za následek, že každý takový polynom je [[dělitelnost|dělitelný]] polynomem (x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - 2 x a + (a^2 + b^2). [87] => [88] => * Podle předchozího tvrzení lze každý polynom p(x) stupně n \geq 1 s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla a_n, reálných kořenových činitelů x - \alpha_i a reálných trojčlenů x^2 + p_i x + q_i, splňujících podmínku p_i^2 - 4 q_i < 0, tzn. [89] => :p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k)(x^2 + p_1 x + q_1)(x^2 + p_2 x + q_2) \cdots (x^2 + p_m x + q_m), [90] => kde \alpha_1, ..., \alpha_k, p_1, ..., p_m, q_1, ..., q_m jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka k + 2 m = n. [91] => [92] => Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn. [93] => :p(x) = a_n (x - \alpha_1)^{u_1} \cdots (x - \alpha_s)^{u_s}(x^2 + p_1 x + q_1)^{v_1} \cdots (x^2 + p_r x + q_r)^{v_r}, [94] => kde u_1 + u_2 + ... + u_s = k určuje počet reálných kořenů polynomu a v_1 + v_2 + ... + v_r = m je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu. [95] => [96] => * Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom [[Sudá a lichá čísla|lichého]] stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen. [97] => [98] => * Pokud jsou \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n kořeny polynomu p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, potom pro tyto kořeny platí následující vztahy [99] => :\alpha_1 + \alpha_2 + ...+ \alpha_n = -a_{n-1} [100] => :\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + ... + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + ...+ \alpha_2 \alpha_n + + \alpha_{n-1} \alpha_n = a_{n-2} [101] => :… [102] => :\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0 [103] => [104] => == Derivace polynomu == [105] => * Derivací polynomu \sum_{i=0}^n a_i x^i rozumíme polynom tvaru \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1} . Derivaci značíme f ' [106] => (Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.) [107] => [108] => * n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce [109] => [110] => f\ ^{(1)}=f ' [111] => [112] => f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)}) ' [113] => [114] => === Souvislost derivace a násobnosti kořene === [115] => Číslo \alpha je ''k''-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu k-1 (a není kořenem derivace řádu k). [116] => [117] => == Polynom dvou proměnných == [118] => Funkci P dvou [[proměnná|proměnných]] x \in R, y \in R označíme jako polynom, pokud existují [[přirozené číslo|přirozená čísla]] n, m a [[konstanta|konstanty]] a_{ij} takové, že platí [119] => :P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j. [120] => [121] => == Související články == [122] => * [[Monom]] [123] => * [[Dvojčlen]] [124] => * [[Základní věta algebry]] [125] => * [[Rovnice|Algebraická rovnice]] [126] => * [[Reciproký polynom]] [127] => * [[Vlastní čísla|Charakteristický polynom]] [128] => * [[Hornerovo schéma]] [129] => [130] => == Externí odkazy == [131] => * {{Commonscat}} [132] => * {{Wikislovník|heslo=mnohočlen}} [133] => * [http://baldsoft.com/polynomial-root-finder/ Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu ] [134] => [135] => [136] => {{Autoritní data}} [137] => {{Portály|Matematika}} [138] => [139] => [[Kategorie:Algebra]] [140] => [[Kategorie:Čísla]] [141] => [[Kategorie:Polynomy]] [] => )
good wiki

Polynom

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru :p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n, kde a_n \neq 0. Čísla a_0, a_1, .

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'dělitelnost','přirozené číslo','Hornerovo schéma','Násobení','Kategorie:Čísla','vektorový prostor','Vlastní čísla','Reciproký polynom','Základní věta algebry','číslo','rovnost (matematika)','sčítání'