Account App Integration - Responsive Website Template

Array ( [0] => 15488138 [id] => 15488138 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Sinus [uri] => Sinus [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Sin.svg|náhled|upright=1.3|Graf funkce sinus – sinusoida]] [1] => [[Soubor:Trig-unit-hyp.svg|náhled|upright=1.0|Sinus v pravoúhlém trojúhelníku]] [2] => '''Sinus''' je [[goniometrická funkce]] nějakého úhlu. Zapisuje se jako ''sin θ'', kde ''θ'' je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] jako poměr protilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Definici lze konzistentně rozšířit jak na všechna reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel. [3] => [4] => [[graf funkce|Grafem]] funkce sinus v reálném oboru je '''sinusoida'''. [5] => [6] => == Sinus na jednotkové kružnici == [7] => [[Soubor:Sine triangle circle.svg|náhled|upright|Sinus ''α'' na jednotkové kružnici]] [8] => [[Soubor:Circle cos sin.gif|náhled|387x387pixelů|Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ.]] [9] => Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou ''x'' ([[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy ''x'' proti směru hodinových ručiček), je '''sin ''α''''' roven ''y''-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', jinak řečeno, rovná se délce [[kolmice]] spuštěné z tohoto bodu na osu ''x''. [10] => Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''x''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[kosinus|cos]] ''α''. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže také platí: [11] => :

(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1

. [12] => Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém [[Kvadrant (geometrie)|kvadrantu]] nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající. [13] => [14] => Protože zřejmě platí, že [15] => :

\sin \alpha = \sin( \alpha + k \cdot 2\pi)

(resp.

\sin( \alpha + k \cdot 360^{\circ}

)), [16] => kde

k

je libovolné [[celé číslo]], lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé [[ojnice|ojnici]]) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru. [17] => [18] => == Sinus v reálném oboru == [19] => Reálná funkce reálné proměnné

y=\sin x

má následující vlastnosti (kde

k

je libovolné [[celé číslo]]): [20] => * [[Definiční obor]]:

\mathbb{R}

([[reálné číslo|reálná čísla]]) [21] => * [[Obor hodnot]]:

\langle-1;1\rangle

[22] => * [[Rostoucí funkce|Rostoucí]]: v každém intervalu

\textstyle\left(-\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{1}{2}\pi+2k\pi\right)

[23] => * [[Klesající funkce|Klesající]]: v každém intervalu

\textstyle\left(\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{3}{2}\pi+2k\pi\right)

[24] => * [[Maximum]] je

1

(v bodech

\textstyle x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi

) [25] => * [[Minimum]] je

-1

(v bodech

\textstyle x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi

) [26] => * [[Derivace]]:

(\sin x)'=\cos x\,\!

[27] => * [[Primitivní funkce]]:

\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + C; C \in\mathbb{R}

[28] => * [[Taylorova řada]]:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}

[29] => * [[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]] (na intervalu

\langle -1;1\rangle

a oborem hodnot

\langle -\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi\rangle

): [[arkus sinus]] (''arcsin'') [30] => * Sinus doplňkového úhlu:

\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x

[31] => * Sinus dvojnásobného argumentu:

\sin 2x=2\sin x\cos x

[32] => * Sinus polovičního argumentu:

\sin ^2 x/2=\frac {1-\cos x}{2}

[33] => * délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce

y=A\sin(x/r)

na válec o poloměru

r

vznikne [[elipsa]] o poloosách

r

\sqrt{r^2+A^2}

. Díky této transformaci lze k výpočtu použít četné nástroje pro obvod elipsy. [34] => * funkce sinus: [35] => ** je [[lichá funkce|lichá]] [36] => ** je [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]] [37] => ** je [[periodická funkce|periodická]] s nejmenší periodou

2\pi

[38] => ** není [[Prosté zobrazení|prostá]] [39] => [40] => == Sinus a kvadranty == [41] => [[Soubor:Sine quads 01 Pengo.svg|náhled|462x462pixelů|Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy).]] [42] => Pohybujeme se v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]] se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus. [43] => {| class="wikitable" [44] => !Kvadranty [45] => !Stupně [46] => !Radiány [47] => !Hodnota [48] => !Hodnota sinu +/− [49] => |- [50] => |I. [51] => |0° < x < 90° [52] => |0 < x < π/2 [53] => |0 < sin(x) < 1 [54] => | + [55] => |- [56] => |II. [57] => |90° < x < 180° [58] => |π/2 < x < π [59] => |0 < sin(x) < 1 [60] => | + [61] => |- [62] => |III. [63] => |180° < x < 270° [64] => |π < x < 3π/2 [65] => | −1 < sin(x) < 0 [66] => | − [67] => |- [68] => |IV. [69] => |270° < x < 360° [70] => |3π/2 < x < 2π [71] => | −1 < sin(x) < 0 [72] => | − [73] => |} [74] => Následující tabulka uvádí základní hodnoty na hranicích kvadrantů: [75] => {| class="wikitable" [76] => !Stupně [77] => !Radiány [78] => !sin (x) [79] => |- [80] => |0° [81] => |0 [82] => |0 [83] => |- [84] => |90° [85] => |π/2 [86] => |1 [87] => |- [88] => |180° [89] => |π [90] => |0 [91] => |- [92] => |270° [93] => |3π/2 [94] => | −1 [95] => |} [96] => [97] => [[Soubor:Unit circle angles.svg|náhled|upright=1.8|Úhly jsou udávány ve stupních a radiánech spolu s odpovídajícím průsečíkem na jednotkové kružnici (cos (θ), sin (θ)).]] [98] => [99] => == Hodnoty sinus na jednotkové kružnici == [100] => Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech: [101] => {| class="wikitable" [102] => ! colspan="3" |''x'' (úhel) [103] => |- [104] => |Stupně [105] => |Radiány [106] => |Otočení v kružnici [107] => |- [108] => |0° [109] => |0 [110] => |0 [111] => |- [112] => |180° [113] => |π [114] => |1/2 [115] => |- [116] => |15° [117] => |π/12 [118] => |1/24 [119] => |- [120] => |165° [121] => |11π/12 [122] => |11/24 [123] => |- [124] => |30° [125] => |π/6 [126] => |1/12 [127] => |- [128] => |150° [129] => |5π/6 [130] => |5/12 [131] => |- [132] => |45° [133] => |π/4 [134] => |1/8 [135] => |- [136] => |135° [137] => |3π/4 [138] => |3/8 [139] => |- [140] => |60° [141] => |π/3 [142] => |1/6 [143] => |- [144] => |120° [145] => |2π/3 [146] => |1/3 [147] => |- [148] => |75° [149] => |5π/12 [150] => |5/24 [151] => |- [152] => |105° [153] => |7π/12 [154] => |7/24 [155] => |- [156] => |90° [157] => |π/2 [158] => |1/4 [159] => |} [160] => Tabulka hodnot po 90° v jednotkové kružnici: [161] => {| class="wikitable" [162] => |''x'' ve stupních [163] => |0° [164] => |90° [165] => |180° [166] => |270° [167] => |360° [168] => |- [169] => |x v radiánech [170] => |0 [171] => |π/2 [172] => |π [173] => |3π/2 [174] => |2π [175] => |- [176] => |''x'' po 1/4 kružnice [177] => |0 [178] => |1/4 [179] => |1/2 [180] => |3/4 [181] => |1 [182] => |- [183] => |hodnota sin ''x'' [184] => |0 [185] => |1 [186] => |0 [187] => | −1 [188] => |0 [189] => |} [190] => [191] => == Výpočty hodnot == [192] => Sinus, stejně jako ostatní goniometrické funkce, patří mezi tzv. transcendentální funkce, jejichž hodnoty nelze přímo vypočítat pomocí elementárních operací. Pro výpočty s goniometrickými funkcemi se používají počítače a vědecké kalkulátory, takže jejich hodnoty většinou není třeba počítat. Pro ruční výpočet se používaly tabulky, kde byly tyto hodnoty už vypočteny pro určité hodnoty úhlů, a pro mezilehlé hodnoty se používala [[interpolace]]. Pro výpočty například při tvorbě takových tabulek se používají nekonečné řady. V počítačích a kalkulátorech se hodnoty goniometrických funkcí obvykle aproximují pomocí snáze vypočítatelných hodnot obvykle Čebyševových [[polynom]]ů nebo nekonečných řad ([[Taylorova řada]]) [193] => [194] => Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem: [195] => [196] => Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen a=b=1; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovné

\pi/4

(45°). Pak podle [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]]: [197] => :

c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt 2

[198] => a tedy ovšem [199] => :

\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} =  \frac{\sqrt2}{2}

[200] => :

\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1

[201] => [202] => Goniometrické funkce úhlů

\pi/3

radiánů (60°) a

\pi/6

radiánů (30°) se určí pomocí [[Rovnostranný trojúhelník|rovnostranného trojúhelníka]] se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny

\pi/3

radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s úhly o velikostech

\pi/6

\pi/3

. Jeho kratší odvěsna má délku

1/2

, delší

{\sqrt3}/2

a přepona délku 1. Pak tedy: [203] => :

\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

[204] => :

\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}

[205] => :

\mbox{tg} \frac{\pi}{6} = \mbox{cotg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}

[206] => [207] => == Sinus v komplexním oboru == [208] => [[Funkce (matematika)|Funkce]] sinus je v [[komplexní číslo|komplexních číslech]] definována součtem [[řada (matematika)|řady]] [209] => [210] => :

\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},

[211] => [212] => která konverguje na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]]. Pro každá komplexní čísla

z

z_1

z_2

platí: [213] => [214] => :

\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},

[215] => :

\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,

[216] => :

\sin iz = i \sinh z.\,

[217] => [218] => Tyto [[vzorec|vzorce]] plynou přímo z příslušných definičních [[mocninná řada|mocninných řad]] daných [[Funkce (matematika)|funkcí]]. Sinus je na celé komplexní rovině [[Bijekce|jednoznačná]] [[holomorfní funkce|holomorfní]] funkce. [219] => [220] => == Odkazy == [221] => [222] => === Související články === [223] => * [[Sinová věta]] [224] => * [[Kosinus]] [225] => [226] => === Externí odkazy === [227] => * {{Commonscat}} [228] => * {{Wikislovník|heslo=sinus}} [229] => * [https://web.archive.org/web/20100304140415/http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Sinus v encyklopedii MathWorld] (anglicky) [230] => * [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/ Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com] (anglicky) [231] => [232] => {{Goniometrické funkce}} [233] => {{Autoritní data}} [234] => [235] => {{Portály|Matematika}} [236] => [237] => [[Kategorie:Goniometrické funkce]] [] => )

good wiki

Sinus

Graf funkce sinus - sinusoida Sinus v pravoúhlém trojúhelníku Sinus je goniometrická funkce nějakého úhlu. Zapisuje se jako sin θ, kde θ je velikost úhlu.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

Sinus

About

Expert Team

Award winning agency

10 Year Exp.

You might be interested in

Maximum

Soubor:Sin.svg

Service

About us

Technology

Locations