Array ( [0] => 14759775 [id] => 14759775 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Sumace [uri] => Sumace [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Sumace''' označuje [[sčítání]] [[množina|množiny]] [[číslo|čísel]]. Výsledek se označuje jako '''suma'''. Jako ''čísla'' v sumaci přitom mohou vystupovat nejenom [[číslo|čísla]] (např. [[přirozené číslo|přirozená]], [[komplexní číslo|komplexní]] apod.), ale také [[funkce (matematika)|funkce]], [[matice]], popř. jiné [[struktura|matematické struktury]]. Součet prvků nekonečné [[posloupnost]]i se označuje jako [[řada (matematika)|řada]]. [1] => [2] => == Značení == [3] => Pro malý počet prvků lze sumaci zapsat jako součet jednotlivých členů. [4] => [5] => Např. sumace čísel 1, 2 a 4 je 1 + 2 + 4 = 7. Číslo 7 je suma. Vzhledem k tomu, že sčítání je [[asociativita|asociativní]], nezáleží na tom, zda sumaci „1 + 2 + 4“ chápeme jako (1 + 2) + 4 nebo jako 1 + (2 + 4). Výsledek je v obou případech stejný, proto lze závorky vynechat (což se také obvykle dělá). Součet konečného počtu čísel je také [[komutativnost|komutativní]], takže změna pořadí jednotlivých členů sumace nemá vliv na výslednou sumu. [6] => [7] => Pokud obsahuje suma příliš mnoho členů, lze některé členy vynechat a nahradit '…' (tři tečky). Přitom musí být zřejmé, které členy byly vynechány. [8] => Např. suma všech [[přirozené číslo|přirozených čísel]] od 1 do 100 je 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050. [9] => [10] => === Sumační znak === [11] => Pro zjednodušení zápisu sumace se v [[Matematika|matematice]] používá tzv. '''sumační znak''', který je reprezentován [[řečtina|řeckým]] znakem velkého [[sigma]] \sum. Definice zápisu pomocí sumačního znaku má tvar [12] => :\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n [13] => [[Index (matematika)|Index]] ''i'' se označuje jako '''sumační index''', ''m'' označuje ''spodní hranici sumace'' a ''n'' je ''horní hranice sumace''. V tomto případě označuje ''i'' = ''m'' skutečnost, že sumační index ''i'' je na počátku roven hodnotě ''m''. Tento index odpovídá prvnímu členu v sumaci, tzn. x_m. Následující hodnoty ''i'' jsou získány přičtením hodnoty 1 k předchozí hodnotě indexu ''i''. Těmto indexům pak odpovídají další členy sumace, tzn. x_{m+1}, x_{m+2}, ... Proces změny indexu pokračuje až do okamžiku, kdy platí ''i'' = ''n'', což označuje konec sumace. Tento index odpovídá poslednímu členu sumace, tzn. x_n. Místo ''i'' lze použít libovolný jiný znak - nejčastěji se používají ''i'', ''j'', ''k'', α, β, ν apod. Např. [14] => :\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90. [15] => [16] => Pokud jsou hranice sumace zřejmé, pak je možné je vynechat a pouze naznačit, přes který index se sumace provádí. Např. [17] => :\sum_i x_i^2 [18] => Pokud je zřejmé, přes který index se sumace provádí i hranice sumace, pak lze použít zjednodušený zápis [19] => :\sum x_i^2 [20] => [21] => Zápis sumace lze také vyjádřit pomocí podmínek, kterým musí vyhovovat sumační index. Do sumy jsou pak zahrnuty pouze ty členy, které odpovídají indexům vyhovujícím zadané podmínce. Např. [22] => :\sum_{0\le k< 100} f(k) [23] => je suma všech ''f''(''k'') pro daná ''k'', která vyhovují uvedené podmínce, [24] => :\sum_{x\in S} f(x) [25] => je suma všech ''f''(''x'') přes všechny prvky ''x'' [[množina|množiny]] ''S''. Množina ''S'' je [[indexová množina]]. [26] => [27] => Pokud se provádí současně více sumací, lze použít zjednodušený zápis pomocí jednoho sumačního znaku. Např. [28] => :\sum_{\ell,\ell'} [29] => je to samé jako [30] => :\sum_\ell\sum_{\ell'} [31] => [32] => === Výpočetní technika === [33] => Se sumací se lze setkat v mnoha [[programovací jazyk|programovacích jazycích]]. [34] => [35] => Např. [36] => \sum_{i=m}^{n} x_i [37] => lze zapsat jako [[počítačový program|program]] ve [[Visual Basic]]u/[[VBScript]]u: [38] => 
    [39] =>  Sum = 0
    [40] =>  For I = M To N
    [41] =>      Sum = Sum + X(I)
    [42] =>  Next I
    [43] =>
[44] => nebo následujícím [[zdrojový kód|kódem]] v jazyku [[C (programovací jazyk)|C]]/[[C++]]/[[C Sharp|C#]]/[[Java (programovací jazyk)|Java]], přičemž se předpokládá, že [[proměnná|proměnné]] m a n jsou definovány jako [[celé číslo|celá čísla]] typu int, m ≥ n a proměnná x je definována jako pole hodnot typu int obsahující nejméně m − n + 1 definovaných prvků: [45] => 
    [46] => int i;
    [47] => int sum = 0;
    [48] => for (i = m; i <= n; i++)
    [49] =>     sum += x[i];
    [50] =>
[51] => V programovacím jazyku [[Python]] lze použít vyjádření: [52] => 
    [53] => sum(range(m, n + 1))
    [54] =>
[55] => V [[Perl]]u: [56] => 
    [57] => $sum += $x[$_] for ($m..$n);
    [58] =>
[59] => Ve [[Fortran]]u (nebo [[MATLAB|Matlabu]]) lze použít: [60] => 
 sum(x(m:n))
[61] => V [[LaTeX|(La)TeXu]] lze pro zobrazení sumačního znaku použít zápis: [62] => 
 \sum_{i=m}^n x_i
[63] => [64] => === Speciální případy === [65] => Je možné provést sumaci méně než dvou čísel. [66] => * Pokud sumace obsahuje pouze jediný člen ''x'', pak je suma rovna hodnotě ''x''. [67] => * Jestliže sumace neobsahuje žádný člen, pak je suma rovna [[nula|nule]]. [68] => [69] => == Vlastnosti == [70] => * \sum_{n=s}^t C\sdot f(n) = C\sdot \sum_{n=s}^t f(n), kde ''C'' je [[konstanta]]. [71] => * \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \lbrack f(n) + g(n)\rbrack [72] => * \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p) [73] => * \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{k=j+1}^t f(k) = \sum_{n=s}^t f(n) [74] => * \sum_{i=m}^n x = (n-m+1)x [75] => * \sum_{i=1}^n x = n\,x - definice [[součin]]u, kde ''n'' je [[celé číslo]] [76] => * \sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2} (viz [[aritmetická řada]]) [77] => * \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)(n)}{2} (speciální případ aritmetické řady) [78] => * \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} [79] => * \sum_{i=1}^n (2i)^2 = \frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6} (suma druhých mocnin sudých čísel) [80] => * \sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6} (suma druhých mocnin lichých čísel) [81] => * \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2 [82] => * \sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} [83] => * \sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}, kde B_k je ''k''-té [[Bernoulliho číslo]] [84] => * \sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^m}{x-1} (viz [[geometrická řada]]) [85] => * \sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-\,1}{x-1} (speciální případ předchozí řady pro ''m'' = 0) [86] => * \sum_{i=0}^n i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} (1-(n+1)x^n+nx^{n+1}) [87] => * \sum_{i=0}^n i^2 x^i = \frac{x}{(1-x)^3} (1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2}) [88] => * \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n (viz [[binomický koeficient]]) [89] => * \sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1} [90] => * \left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j [91] => * \left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j [92] => * \sum_{n=a}^b f(n) = \sum_{n=b}^{a} f(n) [93] => * \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=-t}^{-s} f(-n) [94] => * \sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n) [95] => * \sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\sdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\sdot t+z-1} f(n) [96] => * (a + b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i (viz [[binomická věta]]) [97] => * \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n} [98] => [99] => == Související články == [100] => * [[Součet]] [101] => * [[Einsteinova sumační konvence]] [102] => * [[Integrál]] [103] => [104] => == Externí odkazy == [105] => * {{Commonscat}} [106] => [107] => {{Autoritní data}} [108] => [109] => [[Kategorie:Aritmetika]] [110] => [[Kategorie:Matematické symboly]] [] => )
good wiki

Sumace

Sumace označuje sčítání množiny čísel. Výsledek se označuje jako suma.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'číslo','celé číslo','množina','přirozené číslo','Einsteinova sumační konvence','C++','geometrická řada','řada (matematika)','sigma','nula','MATLAB','programovací jazyk'

C++

Číslo

MATLAB

Množina

Nula

Sigma