Array ( [0] => 14676161 [id] => 14676161 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Umocňování [uri] => Umocňování [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Umocňování''' je [[matematika|matematická]] [[operace (matematika)|operace]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení: [1] => : [2] => \underbrace{ z \cdot z \cdot z \cdots z }_{n \operatorname{-kr\acute{a}t}} =z^n [3] => [4] => V tomto vzorci se {{var|z}} označuje jako '''základ mocniny''' (mocněnec) a {{var|n}} se nazývá '''exponent''' (mocnitel). Výsledek je „{{var|n}}-tá '''mocnina''' čísla {{var|z}}“, „{{var|z}} na {{var|n}}-tou“. Například {{nowrap|1= 3 · 3 · 3 · 3 = 81}} je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3{{sup|4}}. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz [[#Definice]]). [5] => [6] => Speciálním případem prázdného součinu je {{var|z}}{{sup|0}} = 1 (pro {{var|z}} ≠ 0, jinak viz [[#Nula na nultou]]). Pro nulový základ a kladný exponent ({{var|n}} > 0) pak platí 0{{sup|{{var|n}}}} = 0. [7] => [8] => Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n. [9] => [10] => Pomocí umocňování je definováno několik základních [[funkce (matematika)|funkcí]] a [[posloupnost]]í: [[Mocninná funkce]] {{nowrap|{{var|f}}({{var|x}}) {{=}} {{var|a}} · {{var|x}}{{sup|{{var|n}}}}}}, [[exponenciální funkce]] {{nowrap|{{var|f}}({{var|x}}) {{=}} {{var|z}}{{sup|{{var|x}}}}}}, [[geometrická posloupnost]] {{nowrap|{{var|a}}{{sub|{{var|n}}}} {{=}} {{var|z}}{{sup|{{var|n}}}}}} a funkce {{nowrap|{{var|f}}({{var|x}}) {{=}} {{var|x}}{{sup|{{var|x}}}}}}. [11] => [12] => [[Inverzní operace]] k umocňování je [[odmocňování]]. Opakované umocňování je [[tetrace]]. [13] => [14] => == Definice == [15] => Mocnina s přirozeným exponentem (n \in \mathbb{N}) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto: [16] => :z^1=z [17] => :z^{n+1}=z^n \cdot z [18] => [19] => Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu (z \ne 0) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty (n \in \mathbb{Z}): [20] => :z^n = {z^{n+1} \over z} [21] => [22] => :z^0 = {z \over z} = 1 [23] => [24] => :z^{-n} = {1 \over z^n} = \left( {1 \over z} \right)^n [25] => [26] => Definici lze dále zobecnit pro [[racionální číslo|racionální]] exponent s využitím [[odmocňování]]: [27] => :z^{n \over m} = \sqrt[m]{z^n} [28] => [29] => Zobecnění na celý obor [[reálné číslo|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita|limity]]: [30] => : z^n = \lim_{x \to n \atop x \in \mathbb{Q}} z^x [31] => [32] => Pro mocniny s [[komplexní číslo|komplexním]] základem z = a + b i = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}, kde a, b, \varphi \in \mathbb{R} a r \in \mathbb{R}^+_0, {{nowrap|pak platí (viz [[Moivrova věta|Moivrovu větu]])}} [33] => : [34] => z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot [\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi)]. [35] => [36] => [[Argument (komplexní analýza)|Argument]] \varphi = \operatorname{Arg} z má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla \varphi z intervalu \langle 0; 2\pi) nebo (-\pi; \pi \rangle. Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně [[mnohoznačná funkce]] a není na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce|holomorfní]]. [37] => [38] => Pokud je navíc komplexním číslem i exponent n, pak je mocnina dána jako [39] => [40] => :z^n=e^{n \ln z}=e^{n(i\varphi + \ln r)}. [41] => [42] => === Alternativní definice === [43] => Užitečná definice z oblasti [[teorie množin]] říká, že pro množiny A, B je A^B = \{f | f: B \rightarrow A \} čili množina všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] množiny B do množiny A, tedy takových zobrazení, která každému prvku z B přiřazují právě jeden prvek z A. Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je \left| A^B \right| = |A|^{|B|}, přičemž klademe 00 = 1 (viz [[#Nula na nultou]]). Příklad: [44] => : \{ 0, 1 \} ^ { \{ a, b \} } = \Big \{ [45] => \{ a \mapsto 0; b \mapsto 0 \}, [46] => \{ a \mapsto 0; b \mapsto 1 \}, [47] => \{ a \mapsto 1; b \mapsto 0 \}, [48] => \{ a \mapsto 1; b \mapsto 1 \} [49] => \Big \} [50] => [51] => : \left| \{ 0, 1 \} ^ { \{ a, b \} } \right| = | \{ 0, 1 \} | ^ {| \{ a, b \} |} = 2^2 = 4 [52] => [53] => Mocninu z^n s nezáporným celým základem i exponentem (z, n \in \mathbb{N}_0) lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných {{nowrap|n-tic,}} jejichž složky jsou ze {{nowrap|z-prvkové}} množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení {{nowrap|n-prvkové}} množiny lze zapsat jako uspořádanou {{nowrap|n-tici.}} Příklad: [54] => :2^3 = \left| \{0, 1\}^3 \right| = \left| \Big \{ (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \Big \} \right| = 8 [55] => [56] => == Vlastnosti == [57] => Pro [[reálné číslo|reálná]] nebo [[komplexní čísla]] a,b,x,y platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované): [58] => * \left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x za podmínky, že x je [[celé číslo]] nebo \operatorname{Arg} a + \operatorname{Arg} b \in (-\pi; \pi \rangle, tedy že se neprojeví skok [[argument (komplexní analýza)|argumentu]] [59] => * \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} za podmínky, že x je celé číslo nebo \operatorname{Arg} a - \operatorname{Arg} b \in (-\pi; \pi \rangle [60] => * a^x \cdot a^y = a^{x+y} [61] => * a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 [62] => * \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0 [63] => * \left(a^x\right)^y = a^{x \cdot y} za podmínky, že y je celé číslo nebo \operatorname{Im}(x \ln a) \in (-\pi; \pi \rangle [64] => * a^0 = 1 pro a \ne 0 (pro 00 viz [[#Nula na nultou|níže]]) [65] => [66] => Umocňování není obecně [[komutativita|komutativní]] (2{{sup|3}} ≠ 3{{sup|2}}) ani [[asociativita|asociativní]]: (2{{sup|2}}){{sup|3}} ≠ 2{{sup|(2{{sup|3}})}}. [67] => [68] => == Mocniny nuly == [69] => Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro ''x'' > 0 je 0''x'' = 0. [70] => [71] => Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na [[dělení nulou]], které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno: [72] => : Pro {{mvar|x}} > 0 je 0^{-x} = {1 \over 0^x} = {1 \over 0}. [73] => [74] => === Nula na nultou === [75] => Zcela obecně není výraz 00 definován. [[Limita]] mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. [[neurčitý výraz]] a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 00 se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce ''x''0, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 00 = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0''x'', která je pro všechna kladná ''x'' nulová, takže se i v nule dodefinuje 00 = 0. [76] => [77] => V běžných situacích se používá hlavně první definice (00 = 1),Všechny následující výpočetní prostředky poskytují výsledek 0{{sup|0}} = 1: [https://www.google.cz/search?q=0^0 Vyhledávač Google], Kalkulačka ve Windows 7, funkce [http://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/pow pow] jazyka C++, metoda [https://msdn.microsoft.com/en-US/library/system.math.pow%28v=vs.100%29.aspx System.Math.Pow] z MS .NET Framework. která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců: [78] => * Aby při zápisu [[polynom]]u ve tvaru p(x)=\sum_{k=0}^n {a_k x^k} platilo p(0) = a_0, musí být 00 = 1. Podobný zápis se používá také pro [[mocninná řada|mocninnou řadu]]. [79] => * Obecná platnost [[binomická věta|binomické věty]] vyžaduje 00 = 1.{{Citace periodika [80] => | příjmení = Knuth [81] => | jméno = Donald E [82] => | odkaz na autora = Donald E. Knuth [83] => | titul = Two notes on notation [84] => | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1992-05_99_5/page/408 [85] => | periodikum = The American Mathematical Monthly [86] => | rok vydání = 1992 [87] => | ročník = 99 [88] => | číslo = 5 [89] => | strany = 408 [90] => | id = {{arxiv|math|9205211}} [91] => | jazyk = en [92] => }} [93] => * Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz [[#Alternativní definice]]). [94] => * Pravidlo pro [[derivování]] [[mocninná funkce|mocninné funkce]] \tfrac{\operatorname{d}x^n}{\operatorname{d}x} = n x^{n-1} platí pro {{mvar|n}} = 1 v bodě {{mvar|x}} = 0 jen tehdy, když 0{{sup|0}} = 1. [95] => Jindy je 00 ponecháno nedefinované,[http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0 WolframAlpha] zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (00 = 0).{{Fakt/dne|20150424113250}} [96] => [97] => == Zvláštní mocniny == [98] => V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové [[číselná soustava|číselné soustavy]], také v [[soustava SI|soustavě SI]] jsou [[Předpona soustavy SI|předpony]] násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod. [99] => [100] => Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a2), tj. vynásobení čísla ''a'' sama sebou. [[Druhá mocnina]] je v běžné řeči někdy označována jako '''čtverec''', protože obsah [[čtverec|čtverce]] je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a2). [101] => [102] => [[Počítač]]e při zpracování dat používají [[dvojková soustava|dvojkovou soustavu]], založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v [[Informatika|informatice]] používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (Viz též [[binární předpony]].) [103] => [104] => V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu ''e'' ≅ 2,71828, takzvaného [[Eulerovo číslo|Eulerova čísla]]. [105] => [106] => == Reference == [107] => [108] => [109] => == Související články == [110] => * [[Odmocnina]] [111] => * [[Logaritmus]] [112] => * [[Mocninná funkce]] [113] => * [[Exponenciální funkce]] [114] => * [[Geometrická řada]] [115] => * [[Kořen (matematika)]] [116] => [117] => == Externí odkazy == [118] => * {{Commonscat}} [119] => * {{Wikislovník|heslo=mocnina}} [120] => {{Autoritní data}} [121] => [122] => [[Kategorie:Aritmetika]] [123] => [[Kategorie:Binární operace]] [124] => [[Kategorie:Binární operátory]] [] => )
good wiki

Umocňování

Umocňování je matematická operace, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'#Nula na nultou','Mocninná funkce','násobení','reálné číslo','odmocňování','neurčitý výraz','dělení nulou','Informatika','funkce (matematika)','Druhá mocnina','mocninná funkce','#Definice'

Informatika

Násobení

Odmocňování