Array ( [0] => 14665029 [id] => 14665029 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Zlomek [uri] => Zlomek [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=matematice|druhý=hmotnostním, objemovém a molárním zlomku|stránka=Koncentrace (chemie)}} [1] => [[Soubor:Fracciones.gif|náhled|Grafické znázornění zlomků se jmenovatelem 4.]] [2] => '''Zlomek''' (či '''lomený výraz''') označuje v [[matematika|matematice]] podíl dvou [[matematický výraz|výrazů]] (tj. zlomek naznačuje [[dělení]]). Zlomek obsahuje zlomkovou čáru, nad kterou je '''čitatel''' a pod ní je '''jmenovatel'''. Jakékoliv [[racionální číslo]] lze napsat jako zlomek, jehož čitatel i jmenovatel jsou [[celé číslo|celá čísla]]. Zápis pomocí zlomků je vhodný pro provádění elementárních úprav složitějších výrazů. Zlomky jsou běžně využívány v hovorové řeči (polovina, čtvrtka, dvě pětiny apod.) a starší označení pro různá množství bylo voleno tak, aby mohlo být dále děleno (např. [[12 (číslo)|tucet]], [[15 (číslo)|mandel]], [[60 (číslo)|kopa]] apod.), tj. aby mohly být používány jejich zlomkové části. [3] => [4] => == Hlavní pojmy == [5] => Každý zápis zlomku je založen na části celku (například [[polovina]] jako {{Zlomek|2}}, tři čtvrtiny jako {{Zlomek|3|4}}, dvě třetiny jako {{Zlomek|2|3}}). [6] => [7] => Zlomek se zapisuje ve tvaru \frac{a}{b} nebo {{Zlomek|a|b}}. Výraz a označujeme jako ''čitatel'' (nad zlomkovou čárou) a výraz b označujeme jako ''jmenovatel'' (pod zlomkovou čárou). Aby měl zlomek smysl, nesmí být ''jmenovatel'' roven [[Nula|nule]] (v oboru [[reálné číslo|reálných čísel]] [[dělení nulou|nelze dělit nulou]]). [8] => [9] => Pokud jsou v čitateli i ve jmenovateli zlomku další zlomky (např. \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}), pak takový jej označujeme jako ''složený zlomek''. [10] => [11] => Pokud je čitatel menší než jmenovatel (zlomek je menší než jedna) označujeme tento zlomek jako ''pravý zlomek''. ''Nepravý zlomek'' je větší než jedna a lze ho převést na ''smíšené číslo'' (například {{Zlomek|5|4}} = {{Zlomek|1|1|4}}). [12] => [13] => ''Smíšené číslo'' se skládá z [[Celé číslo|celého čísla]] a pravého zlomku, například jeden a půl lze zapsat jako {{Zlomek|1|1|2}}. [14] => [15] => == Počítání se zlomky == [16] => {{Viz též|Usměrňování zlomku}} [17] => Zlomky se dají [[sčítání|sčítat]], [[odčítání|odčítat]], [[násobení|násobit]] a [[dělení|dělit]], dokonce i [[umocňování|umocňovat]]. Chceme-li vynásobit dva zlomky, vynásobíme mezi sebou oba čitatele a oba jmenovatele. Součin čitatelům napíšeme nad zlomkovou čáru a součin jmenovatelů pod ní. [18] => [19] => Abychom mohli sečíst nebo odečíst dva zlomky, musí mít stejného jmenovatele (například {{Zlomek|1|2}} + {{Zlomek|3|2}} = {{Zlomek|4|2}} = 2). V případě nutnosti lze jeden nebo oba zlomky převést na [[Nejmenší společný násobek|společného jmenovatele]] ({{Zlomek|1|2}} + {{Zlomek|1|3}} = {{Zlomek|3|6}} + {{Zlomek|2|6}} = {{Zlomek|5|6}}). [20] => [21] => === Pravidla === [22] => [23] => :\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} [24] => :\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} [25] => [26] => Pokud navíc c \neq 0, pak [27] => [28] => :\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c} [29] => [30] => :- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} [31] => [32] => :\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^n}{b^n} [33] => [34] => Dva zlomky a \over b a c \over d mají stejnou hodnotu tehdy a jen tehdy, když a \cdot d = b \cdot c (tzn. jejich podíl je [[1 (číslo)|1]]). [35] => [36] => Pokud máme zlomek \frac{a}{b}, přičemž čitatel lze vyjádřit jako a = c \cdot r a jmenovatel jako b = c \cdot s (tedy \frac{a}{b} = \frac{ c \cdot r}{c \cdot s} ), pak lze zlomek \frac{a}{b} vyjádřit v ekvivalentním tvaru jako [37] => :\frac{a}{b} = \frac{r}{s} [38] => Tento postup je označován jako '''krácení zlomku'''. Hodnoty obou zlomků jsou ekvivalentní a lze je libovolně zaměňovat. Platí tedy např. \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. Je vidět, že vzájemně ekvivalentních zlomků existuje [[nekonečno|nekonečné množství]], např. \frac{1}{2} = \frac{n}{2n} pro libovolné [[přirozené číslo]] ''n''. O zlomku řekneme, že je v ''základním tvaru'', pokud jeho čitatel a jmenovatel nemají žádného společného dělitele - tento tvar je naopak pro každou třídu zlomků o stejné hodnotě jedinečný. [39] => [40] => Podaří-li se zkrátit zlomek na tvar \frac{n}{1}, pak jej pokládáme roven přímo číslu ''n'', tzn. \frac{n}{1} = n. Např. \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2. [41] => [42] => Při provádění složitějších operací na zlomky se zlomek {{Zlomek|a|b}} chová jako a \cdot b^{-1}, takže například: [43] => [44] => : \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a \cdot b^{-1}) = \log a - \log b [45] => [46] => === Lomené výrazy === [47] => ==== Smysl lomených výrazů (podmínky) ==== [48] => Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku a pracujeme s nimi podobně jako se zlomky. Žádný jmenovatel žádného zlomku nesmí být roven nule, musíme tedy u lomených výrazů vžy určit, kdy mají smysl(určit podmínky). [49] => [50] => př. Určete, kdy má výraz \frac{x - 7}{x^2 - 4} smysl. [51] => [52] => Výraz má smysl, pokud jmenovatel zlomku není roven 0. Tudíž x^2 - 4\ne0\Rightarrow x\ne\pm2 [53] => [54] => ==== Krácení lomených výrazů ==== [55] => Lomené výrazy, stejně jako zlomky, můžeme krátit. Krátit lomený výraz znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem. [56] => [57] => př. Zkraťte lomený výraz. [58] => \frac{3x^2 - 3xy}{3(x-y)^2} [59] => [60] => 1) Musíme určit, kdy má daný výraz smysl. [61] => Výraz má smysl, pokud 3(x-y)^2\ne0 a to je pro x\ne{y} [62] => [63] => Můžeme krátit [64] => [65] => \frac{3x^2 - 3xy}{3(x-y)^2} = (abychom mohli čitatele i jmenovatele krátit, musíme čitatel upravit na součin:) = \frac{3x(x-y)}{3(x-y)^2} = (můžeme zkrátit výrazem 3(x-y)= \frac{x}{(x-y)} [66] => [67] => Tudíž \frac{3x^2 - 3xy}{3(x-y)^2} = \frac{x}{(x-y)} , pro x\ne{y} [68] => [69] => ==== Rozšiřování lomených výrazů ==== [70] => Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele a jmenovatele týmž výrazem (různým od nuly). Rozšiřování užíváme též při převádění lomeného výrazu na společného jmenovatele. [71] => [72] => [73] => př. Rozšiřte lomený výraz \frac{1}{x+3} výrazem x-1 [74] => [75] => Nejprve určíme podmínky lomeného výrazu: x\ne{-3} [76] => [77] => Rozšíříme: [78] => [79] => \frac{1(x-1)}{(x+3)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-x+3x-3}=\frac{x-1}{x^2+2x-3} [80] => [81] => [82] => [83] => př. Rozšiřte lomený výraz \frac{x+3}{x-2} na lomený výraz se jmenovatelem x^2-4 [84] => [85] => Nejprve určíme podmínky lomeného výrazu: x\ne{2} [86] => [87] => Pokud výraz x^2-4 rozložíme podle vzorce a^2-b^2=(a+b)(a-b) na výraz (x-2)(x+2) , vidíme, že daný lomený výraz stačí rozšířit výrazem (x+2) [88] => [89] => [90] => \frac{(x+3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x+3x+6}{x^2-4}=\frac{x^2+5x+6}{x^2-4} [91] => [92] => ==== Usměrňování lomených výrazů ==== [93] => Usměrnit daný lomený výraz znamená upravit ho rozšířením tak, aby již ve jmenovateli nevystupoval výraz, který může nabývat iracionálních či komplexních hodnot. [94] => ;Příklady: [95] => (''U'', ''V'', ''W'' značí výrazy) [96] => * odstranění k-té [[Odmocnina|odmocniny]] ze jmenovatele – lomený výraz se rozšíří (''k''-1). mocninou jmenovatele: [97] => : \frac{U}{\sqrt[k]{W}} = \frac{U ( \sqrt[k]{W} )^{k-1}}{\sqrt[k]{W} ( \sqrt[k]{W} )^{k-1}} = \frac{U (\sqrt[k]{W} )^{k-1}}{W} [98] => * odstranění druhé odmocniny z dvojčlenného jmenovatele – lomený výraz se rozšíří dvojčlenem s opačným znaménkem u odmocniny: [99] => : \frac{U}{V \pm \sqrt{W}} = \frac{U (V \mp \sqrt{W} )}{(V \pm \sqrt{W}) (V \mp \sqrt{W})} = \frac{ U (V \mp \sqrt{W})}{V^2 - W} [100] => * odstranění komplexního výrazu ze jmenovatele – lomený výraz se rozšíří [[Komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženým]] číslem: [101] => : \frac{U}{ V \pm \mathrm{i} W} = \frac{U (V \mp \mathrm{i} W )}{ (V \pm \mathrm{i} W) (V \mp \mathrm{i} W)} = \frac{ U (V \mp \mathrm{i} W)}{V^2 + W^2} [102] => [103] => == Jiné vyjádření zlomků == [104] => V desetinném zápise se zlomky vyjadřují jako desetiny, setiny, tisíciny apod. (například {{Zlomek|2}} = 0,5). Některé zlomky nelze vyjádřit konečným desetinným rozvojem, ale protože se jedná o [[racionální čísla]], jejich rozvoj je od určitého desetinného místa periodický, tedy určitá skupina číslic (zvaná [[Perioda (matematika)|perioda]]) se neustále opakuje. Pro zjednodušení zápisu lze použít pro periodické opakování číslic na dalších desetinných místech symbol pruhu nad periodou, např.: [105] => 0,1167 = 0,116767676767... [106] => [107] => Zlomek lze také převést na procentuální podíl z celku (například {{Zlomek|2}} = 50 %). [108] => [109] => {| class="wikitable" [110] => |- [111] => ! Zlomek!! [[Procento|Procenta]]!! Desetinné číslo [112] => |- [113] => |1/2||50 %||0,5 [114] => |- [115] => |1/3||33,3 %||0,3 [116] => |- [117] => |1/4||25 %||0,25 [118] => |- [119] => |1/5||20 %||0,2 [120] => |- [121] => |1/6||16,6 %||0,16 [122] => |- [123] => |1/8||12,5 %||0,125 [124] => |- [125] => |1/10||10,0 %||0,1 [126] => |- [127] => |2/3||66,6 %||0,6 [128] => |- [129] => |3/4||75 %||0,75 [130] => |- [131] => |3/5||60%||0,6 [132] => |- [133] => |} [134] => [135] => Platí ('''přesně!'''): [136] => :0{,}\overline{9}=1 [137] => (obojí je totiž zápis čísla 3\cdot\tfrac{1}{3}). [138] => [139] => === Převod mezi různými druhy zápisu === [140] => * Převod z tvaru zlomku do tvaru desetinného zápisu: Provede se zlomkem naznačené dělení. (Pro převod na procenta výsledek vynásobíme číslem jedna zapsaným jako 100 %.) [141] => ** ''Příklady'': [142] => ** 1/16 = 0,0625 = 6,25 % [143] => ** 1/17 = 0,058823529411764705882352941176470... = 0,05882352941176470 = 5,8823529411764705 % [144] => [145] => * Převod z konečného desetinného zápisu na zlomek: Vzdáleností poslední číslice čísla je dán řád desetinného zlomku, tj. desetiny, setiny, tisíciny apod.; výsledek lze často zjednodušit krácením. [146] => ** ''Příklad'': [147] => ** 0,0125 = 125/10000 = 1/80 [148] => [149] => * Převod z periodického desetinného zápisu na zlomek: U tzv. ryze periodických kladných čísel menších než 1, u kterých začíná perioda hned za desetinnou čárkou, lze číslo jako zlomek zapsat tak, že čitatelem budou číslice jedné periody a jmenovatelem tolik devítek, kolik číslic má čitatel; výsledek lze často zjednodušit krácením. Ostatní periodická čísla lze zapsat jako součet čísla s konečným zápisem a desetinného podílu ryze periodického čísla. [150] => ** ''Příklady'': [151] => ** 0,3 = 3/9 = 1/3 [152] => ** 0,592 = 592/999 = 16/27 [153] => ** 0,64096 = 64/100 + 0,96/1000 = 64/100 + 96/(99·1000) = 63456/99000 = 2644/4125 [154] => ** 2,25 = 2 + 25/99 = 198/99 + 25/99 = 223/99 [155] => [156] => * Převod z periodického desetinného zápisu pomocí nekonečné řady: Každé periodické číslo se dá rozložit na součet několika jednotlivých částí (př. 1.). Tyto části, které v součtu dají původní číslo, není těžké sečíst pomocí vzorce pro nekonečnou geometrickou řadu (Př. 2): [157] => ** Př. 1. [158] => *** 2{,}\overline{25} = 2 + 0{,}25 + 0{,}0025 + 0{,}000 025 ... = 2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{400} + \frac{1}{40 000} + ... [159] => ** Př. 2. [160] => *** a_1 = \frac{1}{4}, \; q = \frac{1}{100} [161] => *** \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{99}{100}} = \frac{100}{4\cdot99} = \frac{25}{99} [162] => *** 2{,}\overline{25} = 2+\frac{25}{99} = \frac{223}{99} [163] => [164] => * '' K převodu periodického čísla se dá využít obou způsobů, první je však na první pohled snazší, druhý ale podává i zdůvodnění "devítkového" jmenovatele.'' [165] => [166] => == Historie zlomků == [167] => V různých civilizacích z důvodu rozvoje [[průmysl]]u a obchodu, [[architektura|architektury]], mořeplavby, přírodních a jiných věd vznikla potřeba velkých a obtížných aritmetických výpočtů, což vedlo k většímu rozvoji [[matematika|matematiky]]. Egypťané používali zlomky již asi [[1. tisíciletí př. n. l.|1000 př. n. l.]]{{Citace kvalifikační práce [168] => | titul = Využití historie matematiky při výuce na základní škole [169] => | url = https://is.muni.cz/th/u5bla/ [170] => | instituce = Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta [171] => | rok vydání = 2006 [172] => | datum přístupu = 2021-02-21 [173] => | příjmení = Závodný [174] => | jméno = Michal [175] => }}. Skoro všechny zlomky se však převáděly na součty tzv. kmenových zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným jedné. [176] => [177] => == Reference == [178] => [179] => == Související články == [180] => * [[Celé číslo]] [181] => * [[Desetinný zlomek]] [182] => * [[Iracionální číslo]] – číslo, které nelze zapsat ve tvaru zlomku (podíl celých čísel) [183] => * [[Řetězový zlomek]] [184] => [185] => == Externí odkazy == [186] => * {{Commonscat}} [187] => * {{Wikislovník|heslo=zlomek}} [188] => [189] => * http://mathworld.wolfram.com/Fraction.html [190] => {{Autoritní data}} [191] => [192] => [[Kategorie:Zlomky| ]] [193] => [[Kategorie:Aritmetika]] [] => )
good wiki

Zlomek

Grafické znázornění zlomků se jmenovatelem 4. Zlomek (či lomený výraz) označuje v matematice podíl dvou výrazů (tj.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'dělení','Celé číslo','matematika','Kategorie:Aritmetika','Řetězový zlomek','15 (číslo)','Desetinný zlomek','60 (číslo)','Soubor:Fracciones.gif','Perioda (matematika)','Komplexně sdružené číslo','přirozené číslo'

Dělení

Kategorie:Aritmetika

Matematika

Soubor:Fracciones.gif