Úplný metrický prostor

Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).

Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.

Úplný obal

Ke každému metrickému prostoru (\mathbf{M},\rho) existuje takový úplný metrický prostor \mathbf{M}^*, že \mathbf{M} je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor \tilde{\mathbf{M}} hustý v \mathbf{M}^*. Prostor \mathbf{M}^* nazýváme úplným obalem metrického prostoru \mathbf{M}.

Platí, že pokud jsou (\mathbf{M}^*,\rho_1), (\mathbf{M}^{**},\rho_2) úplné obaly metrického prostoru (\mathbf{M},\rho), pak existuje izometrické zobrazení f:\mathbf{M}^* \to \mathbf{M}^{**}.

Vlastnosti

Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

* Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

* Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže Fn je uzavřená a neprázdná, Fn+1 ⊂ Fn pro každé n, a diam(Fn) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině Fn. * Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný. +more * Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený. * Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů

Prostor reálných čísel \mathbb{R} s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel \mathbb{C} s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný. +more * Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: \rho (a, b) = \| a - b \| je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu. * Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní). * Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu C(\langle a, b\rangle) s metrikou *: \rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b}

Příklady neúplných prostorů

Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel a_1=2, a_2=2,7, a_3=2,71, a_4=2,718, a_5=2,7182 a dále dle desetinného rozvoje cisla e, která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. +more Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel. * Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu (0,1\rangle \,\. není konvergentní posloupnost :: 1, {1 \over 2}, {1 \over 3} , {1 \over 4}\ldots \,\. .

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články

Banachův prostor - Úplný vektorový prostor. * Banachova věta o pevném bodě * Uzavřená množina * Metrický prostor * Kompaktní množina

Kategorie:Topologie