Čebyševova nerovnost pro konečné součty

Čebyševova nerovnost pro konečné součty je matematická věta pojmenovaná podle Pafnutije Lvoviče Čebyševa, která zní:

Nechť jsou dána reálná čísla x_1\leq x_2\leq...\leq x_n a y_1\leq y_2\leq...\leq y_n.

Pak platí

n(x_1y_n+x_2y_{n-1}+...+x_ny_1)\leq(x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)\leq n(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n),

kde rovnost nastává, právě když x_1= x_2=...=x_n nebo y_1= y_2=...=y_n.

Důkaz

Získáme součtem n permutačních nerovností, v nichž jako permutace použijeme postupně

:1, 2, 3, …, n, :2, 3, 4, …, 1, :3, 4, 5, …, 2, :: :: :n, 1, 2, …, n-1

Související články

Čebyševova nerovnost

Kategorie:Nerovnosti Kategorie:Matematická analýza