Čtyřúhelník

Čtyřúhelník (cizím slovem tetragon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Definice

Lze jej definovat více způsoby. Zde jsou dvě definice čtyřúhelníku: * Definice1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. +more Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD. * Definice2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Základní pojmy

Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní. +more

konvexní útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U. | Soubor: Convex quadrilateral. png konvexní | nekonvexní útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí,že úsečka XY není podmnožinou útvaru U. | Soubor: Concave quadrilateral. png nekonvexní

Obecný čtyřúhelník Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0° a menší než 180°, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180° a menší než 360°.

Dále se budeme zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky a slovo konvexní budeme vynechávat. Standardní označení stran a úhlů v konvexním čtyřúhelníku.

Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku.

* Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD. +more * Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti. Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD.  Úhly ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC, ∠BAD náleží vnitřní oblasti čtyřúhelníku, nazýváme je vnitřními úhly.

Dvojice úhlů ∠ABC, ∠BCD; ∠BCD, ∠ADC; ∠ADC, ∠BAD; ∠BAD, ∠ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ∠ABC, ∠ADC a ∠BCD, ∠BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD.

Obvyklé značení pro délky stran je |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |AD| = d; délky úhlopříček |AC| = e = u_1, |BD|= f = u_2 a pro velikosti úhlů: |∠BAD| = α,

|∠ABC| = β,|∠BCD| = γ, |∠ADC| = δ.

Klasifikace čtyřúhelníků

Rozdělení čtyřúhelníků Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby - například podle rovnoběžnosti stran

* rovnoběžník * lichoběžník * různoběžník

Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné v každé z obou dvojic.

dělení podle velikosti úhlů {| | pravoúhlý | čtverec, obdélník
kosoúhlý | kosočtverec, kosodélník

| dělení podle délky stran [wiki_table=fd501535] |} Lichoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné pouze v jedné z obou dvojic; tyto strany se pak nazývají základny. +more [wiki_table=8aa0f033].

Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.

Další speciální případy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje: * Tětivový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici. * Tečnový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici. +more * Dvojstředový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, je tedy současně tětivovým i tečnovým čtyřúhelníkem. * Deltoid ("drak") je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, přičemž jedna z nich (hlavní úhlopříčka) půlí druhou (vedlejší úhlopříčku). Každý deltoid je současně tečnový čtyřúhelník.

Obvod a obsah

Obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech stran. O = a + b + c + d.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

: S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)},

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníku, s je jeho poloviční obvod; α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Obsah je také možno vypočítat rozdělením čtyřúhelníku na dva trojúhelníky:

S = \frac {1} {2} (a b \sin \beta + c d \sin \delta ) = \frac {1} {2} (a d \sin \alpha + b c \sin \gamma )

Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků, z nichž aspoň 2 musí mít rozměr délky. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. +more úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.

Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti (symetrie), pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, u čtverce 1 prvek).

Reference

Související články

Geometrický útvar

Externí odkazy

Kategorie:Mnohoúhelníky