Cesko.wiki Řád prvku
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresŘád prvku a\,\! v grupě G\,\! je takové nejmenší přirozené číslo n\,\!, že a^n=1\,\! (přičemž 1\,\! je neutrální prvek grupy G\,\!), značíme jej \operatorname{ord}\,a\,\! nebo |a|\,\!.
Definice
Buď dána grupa G\,\. , a prvek a \in G\,\. +more Je-li cyklická grupa generovaná prvkem a\,\. konečná, pak řád prvku a\,\. v grupě G\,\. klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak 0\,\. (u některých autorů \infty \,\. ).
Tvrzení
Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy. * Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická. +more * Buď f:G \rightarrow H\,\. homomorfismus grup a a \in G\,\. prvek konečného řádu, pak \operatorname{ord}\,f(a) | \operatorname{ord}\,a\,\. Je-li navíc f\,\. injektivní, pak \operatorname{ord}\,f(a) = \operatorname{ord}\,a\,\. * Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem 1 \,\. (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).