Basilejský problém

Basilejský problém se ptá na součet nekonečné řady převrácených hodnot čtverců přirozených čísel:

:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots.

Jde o otázku z oboru matematické analýzy, jejíž odpověď výrazně pomohla teorii čísel. Problém formuloval Pietro Mengoli roku 1650; a protože evropské matematiky na tuto otázku upozornil basilejský profesor matematiky Jacob Bernoulli, říká se mu basilejský problém. +more Vyřešil ho 28letý Leonard Euler v roce 1735 a ukázalo se, že výsledek je.

\frac{\pi^2}{6} \approx 1 {,} 6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots

Řešení tohoto problému mělo významný dopad na další vývoj matematické analýzy, na teorii čísel a později i na komplexní analýzu. Nakonec se řada inverzních čtverců ukázala jako první krok k zavedení Riemannovy funkce zeta. +more Sám Euler zahájil tuto cestu zavedením zobecnění řady pro libovolnou sudou mocninu s, a také odvozením identity se součinem nekonečné řady obsahující všechna prvočísla:.

\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{5^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{7^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{11^{s}}}\dots=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}

Historie

Historici poprvé objevili úvahy o řadě převrácených hodnot čtverců v disertační práci italského matematika Pietra Mengoliho (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644, publikováno v roce 1650), ale problém tehdy ještě nevzbudil obecný zájem. Mengoli určil, že řada konverguje, a našel součet prvních 10 členů.

\frac{1968329}{1270080}\approx 1{,}54977

Později se mnoho vynikajících matematiků (včetně Leibnize, Stirlinga, de Moivra, Christiana Goldbacha, bratrů Jacoba a Johanna Bernoulliho) neúspěšně snažilo najít součet. Podařilo se jim vypočítat několik platných cifer součtu řady. +more Goldbach ukázal, že součet je obsažen v intervalu (41/25; 5/3), Stirling v pojednání „Methodus Differentialis“ (1730) dokázal vypočítat poměrně přesnou hodnotu součtu: 1,644934066, ale nikdo nedokázal přesně určit, co tato hodnota znamená.

Euler byl první, kdo dosáhl úspěchu - téměř půl století po Bernoulliho zveřejnění. S největší pravděpodobností o tomto problému Eulerovi řekl Jacobův bratr Johann Bernoulli. +more Euler informoval o svém objevu v poznámce „O sumách inverzní řady“ (De summis serierum reciprocarum, 1735) pro časopis „Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae“ petrohradské Akademie věd. Hodnotu výsledku součtu řady, který našel, uvedl také Euler v dopise svému příteli Danielovi Bernoullimu, synovi Johanna Bernoulliho:.

Nedávno jsem našel zcela neočekávaně elegantní výraz pro součet řady spojené s kvadraturou kruhu ... Jmenovitě šestinásobný součet této řady se rovná čtverci obvodu kruhu, jehož průměr je 1 .

Daniel o tom řekl svému otci, který vyjádřil pochybnosti o platnosti Eulerova rozkladu sinu na nekonečný produkt (viz níže). V roce 1748 proto Euler důsledněji doložil výsledek ve své monografii „Introductio in analysis infinitorum" (svazek I, kapitola X).

Pro kontrolu Euler ručně vypočítal součet řady s přesností na 20 desetinných míst (zřejmě s využitím Eulerovy-Maclaurinovy řady, neboť řada inverzních čtverců konverguje poměrně pomalu). Poté porovnal ručně vypočítanou hodnotu s hodnotou \frac {\pi^{2}}{6} pomocí přibližné hodnoty čísla \pi již známého v té době, a ujistil se, že se obě hodnoty v mezích přesnosti počítání shodují. +more Poté roku 1743 Euler publikoval další dva různé způsoby sčítání řady převrácených hodnot čtverců.

Eulerova první metoda zjištění součtu řady

Na konci 17. století byl díky práci Newtona a dalších matematiků znám rozklad sinusoidy na součet nekonečné řady:

\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots

Eulerovi se podařilo nalézt jiný rozklad sinu, nikoliv však jako sumy, nýbrž jako nekonečného součinu.

\sin x =x \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right) = x\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots

Pakliže srovnáme oba nekonečné výrazy, dostaneme:

\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{16\pi^2}\right) \cdot\dots = 1 - \frac{x^2}{3. } + \frac{x^4}{5. +more} - \frac{x^6}{7. } + \dots .

Po roznásobení součinu na levé straně, uvažování pouze členů obsahujících 1 a x^2 a jejich porovnání s odpovídajícími členy na pravé straně vznikne rovnost:

: -x^2 \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} + \frac{1}{4^2\pi^2} + \cdots \right) = - \frac{x^2}{3!} = - \frac{x^2}{6},

ze které po vykrácení plyne

: 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934 \ldots

Využití výsledku

Součet řady odpovídá Riemannově funkci zeta v bodě 2, tedy \zeta (2) .

Součet dělitelů přirozeného čísla roste v průměru jako lineární funkce \zeta(2)\cdot N .

Pravděpodobnost, že dvě náhodně vybraná přirozená čísla v rozsahu od 1 do N budou vzájemně nesoudělná, se pro velká N blíží \frac{1}{\zeta(2)} . Jinými slovy, průměrná hustota nesoudělných čísel v řadě přirozených čísel je \frac{1}{\zeta(2)} .

Externí odkazy

[url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E041.html]Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum[/url] (latinsky, anglicky)

Související články

Riemannova funkce zeta * Taylorova řada

Literatura

C. Edward Sandifer: Euler's solution of the Basel problem-the longer story. +more Euler at 300, 105-117, MAA Spectrum, Math. Assoc. America, Washington, DC, 2007. * Downey, Lawrence / Ong, Boon W. / Sellers, James A. : Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391-394.

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady Kategorie:Matematické problémy Kategorie:Teorie čísel