Komplexní analýza

Technology
12 hours ago
8
4
2
Avatar
Author
Albert Flores

Komplexní analýza je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože reálná i imaginární část každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široce aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jedním z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.

...
...
...

Historie

Mandelbrotova množina, fraktál. +more Komplexní analýza má kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení, má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci lze nezávisle proměnnou i závisle proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:

: z = x + iy \ tj. w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kde x,y \in \mathbb{R} a i = \sqrt{-1} je imaginární jednotka.

Složky funkce f(z):

: u = u(x,y) \ a \ v = v(x,y)

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných x a y.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Komplexní exponenciála

Komplexní exponenciála Komplexní exponenciálu komplexní proměnné můžeme zavést pomocí komplexní funkce z reálné proměnné y: :z = \cos y + i\sin y \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \frac{\text{dz}}{\text{dy}} = - \sin y + i\cos y = i\left( \cos y + i\sin y \right) = iz \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ :\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \frac{\text{dz}}{z} = i\text{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \int_{}^{}{\frac{1}{z}\text{dz}} = i\int_{}^{}\text{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z = iy \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z = e^{iy}

následujícím způsobem:

:e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} = e^{x}\left( \cos y + i\sin y \right) = e^{x}\cos y + ie^{x}\sin y = u\left( x,y \right) + iv\left( x,y \right),

pro jejíž derivaci platí:

:\left| \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} e^{x}\cos y & - e^{x}\sin y \\ e^{x}\sin y & e^{x}\cos y \\ \end{matrix} \right| = \left( e^{x}\cos y \right)^{2} + \left( e^{x}\sin y \right)^{2} = \left| e^{x + \text{iy}} \right|^{2}

Holomorfní funkce

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

Odkazy

Reference

Literatura

Externí odkazy

Kategorie:Komplexní čísla

5 min read
Share this post:
Like it 8

Leave a Comment

Please, enter your name.
Please, provide a valid email address.
Please, enter your comment.
Enjoy this post? Join Cesko.wiki
Don’t forget to share it
Top