Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci f(x) to znamená na okolí bodu x_0 :f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i (x - x_0)^i, kde x_0 je libovolný bod \mathbf{D}. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna x z okolí bodu x_0. Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. +more hlavní větev logaritmu z je definována vztahem :\ln_0 z = \ln r + \mathrm{i} \varphi pro r > 0 a - \pi , kde z = r (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi). Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu z = 0 a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok -2\pi).

Vlastnosti

Součet analytických funkcí je analytická funkce. * Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Literatura

Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser

Související články

Holomorfní funkce * Funkce * Komplexní analýza

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí Kategorie:Komplexní analýza