Bezesporná teorie

Bezesporná teorie (také konzistentní teorie) je označení používané v matematické logice pro formální teorii, která neobsahuje spor; v opačném případě se používá označení sporná teorie.

Definice

Teorie je sporná, je-li v ní dokazatelná nějaká sentence (tedy uzavřená formule) i její negace. Není-li teorie sporná, říkáme, že je bezesporná neboli konzistentní. +more Za spor se v teorii T považuje každá formule, která je v T dokazatelná spolu se svojí negací.

Vlastnosti

Následující vlastnosti teorie T jsou ekvivalentní (v logice s rovností): * T je sporná. * V T je dokazatelná každá sentence. +more * V T je dokazatelná sentence (\exists x)(x\neq x) * Nějaká konečná podteorie T je sporná. * Neexistuje model T. (viz Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky).

Tedy teorie obsahující spor je v „klasické“ logice nejsilnější teorií (ve smyslu velikosti množiny dokazatelných formulí), neboť dokazuje každé tvrzení. Dále platí: * Rekurzivně axiomatizovaná bezesporná teorie obsahující Peanovu aritmetiku je neúplná. +more To je tvrzení první Gödelovy věty o neúplnosti.

Relativně bezesporná teorie

Je-li T teorie a S její rozšíření, pak S je relativně bezesporná vůči T, pokud platí, že je-li T bezesporná, pak je bezesporná i S.

Tento pojem se často používá u rozšíření ZF a ZFC, neboť díky Gödelovým větám o neúplnosti je nemožné dokázat jejich bezespornost.

Příklad: Studiem konstruovatelných množin lze ukázat, že je-li ZF bezesporná, pak je bezesporná i ZF+CH. Bezespornost ZF však nelze dokázat. +more Proto je ZF+CH 'relativně bezesporná' vzhledem k ZF.

Odkazy

Literatura

Související články

Úplná teorie * Formální důkaz * Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky * Gödelovy věty o neúplnosti

Kategorie:Matematická logika