Bilineární forma

Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.

Definice

Nechť \mathcal{V} je vektorový prostor nad tělesem T. Bilineární forma na \mathcal{V} je každé zobrazení B: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to T, které splňuje následující podmínky, kde \; u,v,w \in \mathcal{V} \;a \; \alpha \in T: :B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)\. +more :B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\. :B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w)\. :B(u,\alpha v) = \alpha B(u,v)\.

Matice bilineární formy a její transformace

Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:

Definice: Nechť \mathcal{V} je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem T a C báze v něm. Nechť a, b \in \mathcal{V} jsou vektory a \vec{a}, \vec{b} \in T^njejich vyjádření vůči C. +more Nechť B je bilineární forma na \mathcal{V}.

Matice M je vyjádřením bilineární formy B v bázi C pokud splňuje:

:B(a,b) \, = \, \vec{a}^T M \, \vec{b} \quad \forall a,b.

Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud a = R \, a' a zároveň má platit {a'}^T M' b' = a^T M \, b, potom: :a^T M \, b \; = \; (R \, a')^T M \, (R b') \; = \; {a'}^T (R^T M \, R) \, b' \; = {a'}^T M' b' \quad \implies \quad M' = R^T M \, R.

Symetrická a antisymetrická bilineární forma

Bilineární forma se nazývá: * symetrická, platí-li pro všechna u,v B(u,v) = B(v,u)\!. * antisymetrická, platí-li pro všechna u,v B(u,v) = -B(v,u)\!.

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část: :B(u,v) = B^S (u,v) + B^A (u,v)\!,

kde

:B^S (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) + B(v,u))\! je symetrická a :B^A (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) - B(v,u))\! je antisymetrická.

Seskvilineární forma

Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. +more Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:.

:B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!

pro seskvilineární formu platí:

:B(\alpha u,v) = \bar\alpha B(u,v)\!

kde \bar\alpha je komplexní sdružení.

Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu a^+ M \, ba transformačnímu vztahu R^+ M \, R, kde A^+značí matici hermitovsky sdruženou s A.

Související články

Lineární zobrazení * Lineární forma * Kvadratická forma

Externí odkazy

Kategorie:Lineární algebra