Cesko.wiki Skalární součin
Author
Albert FloresSkalární součin je v matematice bilineární zobrazení V\times V \to T, kde V je vektorový prostor nad tělesem T, přiřazující dvojici vektorů skalár.
Značení
Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů \mathbf{a} a \mathbf{b} jsou: * \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze * \langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle - značení běžné ve funkcionální analýze * (\mathbf{a},\mathbf{b}) - starší značení, dnes již méně používané * b\,(\mathbf{a},\mathbf{b}) - b jako bilineární forma * \langle \mathbf{b} \mid \mathbf{a} \rangle - při použití Diracovy notace v kvantové mechanice
Definice
Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( \cdot :V\times V \to T ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v n-rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:
:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n,
a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory \mathbf{a} a \mathbf{b} plyne nerovnost -1 \leq \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}
| \mathbf{a}| |\mathbf{b} |
|---|
:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \ \cos \varphi,
kde \varphi \in \left \langle 0,\pi \right \rangle je úhel svíraný vektory \mathbf{a} a \mathbf{b}. Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. +more kolmé.
Vlastnosti
Skalární součin pro všechny nenulové vektory \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V a všechna a \in T platí: * (\mathbf{v},\mathbf{v})>0 * (\mathbf{v},\mathbf{0})=(\mathbf{0},\mathbf{v})=(\mathbf{0},\mathbf{0})=0 * (\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w})=(\mathbf{u},\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w}) * (a\,\mathbf{u},\mathbf{v})=(\mathbf{u},a\,\mathbf{v})=a\,(\mathbf{u},\mathbf{v}) * ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn. +more: :(\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u}) * v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí: :(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})} :(a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v}).
Příklad
Mějme dva trojrozměrné vektory \mathbf{a}=[1,2,3] a \mathbf{b}=[4,5,6]. Potom jejich skalární součin je: :\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32.
Aplikace
pro dva vektory \mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i a \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i, zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi \mathbf{e}, lze skalární součin definovat jako: : (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j}, kde g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) je metrický tenzor (v tomto případě matice). * pro dvě posloupnosti a,b : \mathbb{N} \to \mathbb{C} lze skalární součin definovat jako řadu: :(a, b) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i \overline{b_i}, pokud řada konverguje. +more * skalární součin dvou funkcí lze definovat jako integrál: :(f, g)=\int_a^b f(x) \cdot \overline{g(x)} \ dx, pokud integrál konverguje.