Ortogonalita

Původem řecké slovo ortogonální znamená pravoúhlý (z řec. «ορθος» pravý a «γονια» úhel).

Přeneseně, v technice, pak nezávislý, případně neovlivňující.

Elementární geometrie

Původně byl termín užíván pouze v kontextu elementární geometrie pro označení přímek protínajících se v pravém úhlu (jinak řečeno pokud všechny čtyři úhly, které protínající se přímky vymezují, jsou stejné). Pravému úhlu odpovídá velikost 90° nebo π/2 radiánu. +more Viz též pravoúhlý trojúhelník. V geometrii je ortogonalita označována jako kolmost.

Zobecněné významy

S rozvojem lineární algebry došlo k zobecnění pojmu ortogonality na obecné vektorové prostory se skalárním součinem (tzv. unitární prostory). +more Vektory jsou nazývány ortogonálními, je-li jejich skalární součin nulový. Význačnou úlohu hrají ortogonální báze, zvláště u nekonečnědimenzionálních prostorů, kde je pojem úplnosti báze netriviální a ortogonalita usnadňuje jeho definici. Důležitým příkladem jsou systémy #ortogonální funkce|ortogonálních funkcí umožňující vyjádřit libovolnou funkci z daného prostoru funkcí jako součet nekonečné řady vektorů báze.

Pokud mají navíc vektory jednotkovou normu (velikost), pak jde o ortonormalitu (ortonormální vektor, ortonormální báze).

V kvantové teorii, kde jsou stavům systému přiřazeny vektory z Hilbertova prostoru, odpovídají ortogonální vektory takovým stavům, kde pravděpodobnost nalezení jednoho ve druhém je nulová. Obvykle pak stavy odpovídající klasickým stavům (tj. +more stavy jednoznačně určené hodnotami měřitelných veličin) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru.

Ortogonální funkce

Systém funkcí f_n je v intervalu \langle a,b\rangle ortogonální s váhou w(x), kde w(x)\geq 0, pokud pro každou dvojici f_i(x), f_k(x) platí :\int_a^b w(x)f_i(x)f_k(x) \mathrm{d}x = 0 \; \mbox{ pro } i \neq k.

Funkci f nazýváme normovanou s váhou w(x), jestliže platí :\int_a^b w(x)f^2(x)\mathrm{d}x = 1

Systém funkcí f_n ortogonální s váhou w(x), kde každá funkce f_n je normovaná s váhou w(x), nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou w(x).

Systém ortogonálních funkcí v L_2

Systémy ortogonálních funkcí v prostoru L_2 našly praktické uplatnění především v kvantové mechanice.

Funkce f,g \in L_2(a,b) označujeme jako ortogonální v prostoru L_2(a,b) (na intervalu \langle a,b\rangle), pokud platí :(f,g)=0, přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako :\int_a^b f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=0

Funkci f nazýváme normovanou v prostoru L_2(a,b), je-li její norma rovna jedné, tzn. :\|f\|=1

Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí f_n \in L_2(a,b), pak říkáme, že tento systém je ortogonální v L_2(a,b), pokud pro každou dvojici funkcí f_i, f_k platí :(f_i,f_k)=0 \; \mbox{ pro } i \neq k. Je-li navíc každá funkce f_n normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). +more V takovém případě platí :(f_i,f_k) = \delta_{ik}, kde \delta_{ik} je Kroneckerovo delta.

Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce f_n platí, \|f_n\|\neq 0, pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením g_n(x) = \frac{f_n(x)}{\|f_n\|}.

Mikroprocesorová technika

Ortogonální instrukční sada je taková sada strojových instrukcí procesoru, ve které nejsou přítomny duplicitní strojové instrukce, tj. pro každou operaci existuje jen jediná strojová instrukce a zároveň je sada strojových instrukcí navržena tak, aby strojové instrukce mohly použít jakýkoliv registr v jakémkoliv adresním režimu. +more Terminologie vychází z představy, že instrukce je vektor, jehož dalšími složkami jsou operandy a adresní režim.

Telekomunikace

Ortogonalitu má v názvu technologie se zkratkou OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing - ortogonální multiplex s frekvenčním dělením), využívající širokopásmovou modulaci po vícero frekvenčních kanálech, komunikace na žádném z nichž neomezuje ty ostatní.

Reference

Související články

Gramova-Schmidtova ortogonalizace * Ortogonální polynomy * Ortonormalita

Kategorie:Lineární algebra