Diracova notace

Technology

12 hours ago

Author

Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Definice

Vektor a je označován symbolem |a\rangle. Protože jsme v prostoru se skalárním součinem (\cdot,\cdot), je dobře definován duální vektor \mathbf{a}^*=(\mathbf{a},\cdot) a značí se \langle a|. +more Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru \langle a| na ket-vektor |b\rangle je podle definice jejich skalární součin \langle a | b\rangle=(\mathbf{b},\mathbf{a}), což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru |a\rangle jsou v nějaké ortonormální bázi :|a\rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},.

pak souřadnice vektoru \langle a| v duální bázi jsou \langle a| = (a_1^*, a_2^*, \cdots, a_n^*) (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že \langle a| je hermiteovsky sdružený vektor k |a\rangle.

Použití

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např. :\hat L|L\rangle = L|L\rangle, kde \hat L je operátor, L představuje jeho vlastní číslo a |L\rangle jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar :\hat L |L_n\rangle = L_n|L_n\rangle = L_n |n\rangle

Pro hermiteovský operátor \hat A, tzn. {\hat A}^+ = \hat A, pro který platí :\hat A|f\rangle = |g\rangle pak také platí :\langle g| = {(|g\rangle)}^+ = {(\hat A |f\rangle)}^+ = {(|f\rangle)}^+ {\hat A}^+ = \langle f|{\hat A}

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi |e_1\rangle,\ldots,|e_k\rangle se dá napsat jako \sum_i |e_i\rangle\langle e_i| (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).