Diagonální matice

hlavní diagonále matice. V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. +more skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Definice

Čtvercová matice \boldsymbol{D} řádu n nad tělesem T (obvykle jde o těleso reálných čísel \R)

: \boldsymbol{D} = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} \end{pmatrix} ,

jejíž prvky d_{ij} \in T s i \neq j jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

: \boldsymbol{D} = \operatorname{diag} (d_1, d_2, \dotsc, d_n) = \begin{pmatrix} d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{n} \end{pmatrix} .

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Ukázky

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice: :\operatorname{diag} (1, 4, -3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Speciální diagonální matice

Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: \mathbf{I}_n=\operatorname{diag}(1, 1,\dots, 1). +more * Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: \boldsymbol{0} = \operatorname{diag}(0, 0,\dots, 0). * Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice. Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice \alpha\mathbf{I}_n=\operatorname{diag}(\alpha, \alpha,\dots,\alpha). Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy GL_n(\R).

Vlastnosti

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

* Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu n. * Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále. +more * Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále: *: \det\left( \operatorname{diag} \left(d_1, d_2,\dotsc,d_n\right)\right) = d_1 d_2 \dotsm d_n = \prod_{i=1}^n d_i * Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální. * Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí: \boldsymbol{D}^{\mathrm T} = \boldsymbol{D}. * Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

: \operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n) + \operatorname{diag}(b_1, b_2 \dots, b_n) = \operatorname{diag}(a_1 + b_1, a_2 + b_2 \dots, a_n + b_n) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + b_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n + b_n \end{pmatrix}

Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:

: \alpha\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) = \operatorname{diag} (\alpha a_1 b_1, \alpha a_2, \dots, \alpha a_n) = \begin{pmatrix} \alpha a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha a_n \end{pmatrix}

: \operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = \operatorname{diag} (a_1 b_1, a_2 b_2, \dots, a_n b_n) = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 b_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n b_n \end{pmatrix}

Součin matice \boldsymbol{A} typu m\times n zleva s diagonální maticí řádu m odpovídá vynásobení řádků \boldsymbol{A} příslušnými prvky na diagonále:

: \boldsymbol{DA} = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_m) \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots& & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ & & d_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots& & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 a_{11} & \dots & d_1 a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ d_m a_{m1} & \dots & d_m a_{mn} \end{pmatrix}

Součin matice \boldsymbol{A} typu m\times n zprava s diagonální maticí řádu n zprava odpovídá násobení sloupců \boldsymbol{A} prvky na diagonále:

: \boldsymbol{AD} = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots& & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots& & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ & & d_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 a_{11} & \dots & d_n a_{1n}\\ \vdots& & \vdots \\ d_1 a_{m1} & \dots & d_n a_{mn} \end{pmatrix}

Regularita a inverzní matice

Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:

: \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag} \left(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}\right)

Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:

: \operatorname{diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)^{+} = \operatorname{diag}(d_1^+, d_2^+, \dots, d_n^+)

kde d_i^+ = d_i^{-1} pro d_i \neq 0, a v ostatních případech d_i^+ = 0. Při známém singulárním rozkladu lze pseudoinverzní \boldsymbol{A}^+ velmi efektivně vypočítat ze vztahu: \boldsymbol{A}^+ =\boldsymbol{V}\Sigma^+\boldsymbol{U}^{\mathrm{T}}.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla diagonální matice \operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) jsou d_1,\dots,d_n , přičemž příslušné vlastní vektory \boldsymbol e_1, \dots, \boldsymbol e_n tvoří standardní bázi prostoru T^n.

Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice \boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x} pro určení vlastních čísel a vektorů se bezprostředně redukuje na vztah \boldsymbol{D} \boldsymbol e_i = d_i \boldsymbol e_i.

Aplikace

Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. +more lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.

Čtvercová matice \boldsymbol{A} řádu n se nazývá diagonalizovatelná, je-li podobná diagonální matici \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{A}}, čili pokud existuje regulární matice \boldsymbol{S} taková, že platí: \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{AS} (ekvivalentně: \boldsymbol{SD}_{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{AS}). Lze dokázat, že matice řádu n je diagonalizovatelná, právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů.

V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud \boldsymbol{AA}^{*} = \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}, pak existuje unitární matice \boldsymbol{U} taková, že \boldsymbol{UAU}^{*} je diagonální). Dále, ze singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici \boldsymbol{A} existují unitární matice \boldsymbol{U} a \boldsymbol{V} takové, že \boldsymbol{U}^{*}\boldsymbol{AV} je nezáporná diagonální matice.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Antidiagonální matice * Bloková diagonální matice * Pásmová matice

Kategorie:Řídké matice