Cesko.wiki Faktoralgebra
Author
Albert FloresKoncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence \sim\,\! na nosné množině algebry A\,\!, nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence A/\sim\,\!.
Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.
Definice
Nechť je A = (A,F)\,\! algebra. Ekvivalence \sim\,\! na A\,\! se nazývá kongruence algebry pokud:
* Pro každou operaci F_A\,\! a a_1 \sim b_1, ..., a_{ar(F_A)} \sim b_{ar(F_A)}\,\! platí F_{A}(a_1, ..., a_{ar(F_A)}) \sim F_{A}(b_1, ..., b_{ar(F_A)})\,\!
Operace faktoralgebry B = (A/\sim, G)\,\! pak definujeme na blocích ekvivalence takto:
* Pro každé F_A \,\! a a_1, ..., a_{ar(F_A)} \in A\,\! je G_{A}([a_1], ..., [a_{ar(F_A)}]) \sim [F_{A}(a_1, ..., a_{ar(F_A)})]\,\!
Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.
Vlastnosti
Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra. * Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry. +more * Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi: ** id = \{(a,a): a \in A\}\,\. ** A \times A = \{(a,b): a \in A \land b \in A\}\,\. :Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.
Příklady
Uvažujme relaci x \sim y \Leftrightarrow x + y \mid 2\,\. v grupě celých čísel (\mathbb{Z},+,-,0)\,\. +more Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:.
* pro operaci sčítání (+)\,\. : \forall a_1 \sim b_1, a_2 \sim b_2\,\. +more platí a_1 + a_2 \sim b_1 + b_2\,\. * pro operaci inverze (-)\,\. : \forall a \sim b\,\. platí -a \sim -b\,\. * konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek 0 \sim 0\,\. (je splněno vždy).
Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti a_1 \sim b_1\,\! je buď sudé, nebo liché a stejně tak a_2 \sim b_2\,\!.
Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako \{0,1\}\,\!, neboť 0\,\! je reprezentantem sudých čísel a 1\,\! je reprezentantem čísel lichých.
Mějme grupu permutací na n\,\. prvcích S_n\,\. +more a relaci ekvivalence \pi \sim \sigma \Leftrightarrow sgn(\pi) = sgn(\sigma)\,\. Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko sgn(\pi) * sng(\sigma)\,\. a nulovým prvkem, je identita. ).
Věta o izomorfismu
Je-li \varphi:A \rightarrow B\,\! homomorfismus algeber, pak platí A/ker(\varphi) \simeq Im(\varphi)\,\!.
Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry A\,\! podle jádra homomorfismu ker(\varphi)\,\! je isomorfní s obrazem homomorfismu Im(\varphi)\,\!.
Myšlenka důkazu: * Je li \varphi\,\. homomorfismus A \rightarrow B\,\. +more pak jádro zobrazení ker(\varphi) je kongruence algebry A\,\. * Je li \varphi\,\. homomorfismus A \rightarrow B\,\. a \sim\,\. kongruence na A\,\. taková, že a \sim b \Rightarrow \varphi(a) = \varphi(b)\,\. , pak je zobrazení \psi : A/\sim \rightarrow B, [a] \rightarrow \varphi(a)\,\. je homomorfismus. * Pak A/\ker(\varphi) \rightarrow Im(\psi) = Im(\varphi)\,\. je prostý a na a je tedy izomorfismem.
Každá kongruence na algebře \sim\,\! je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z \varphi : a \rightarrow [a]_\sim\,\!, tedy A \rightarrow A/\sim \simeq B\,\!.
Naopak každé jádro homomorfismu ker(\varphi)\,\! je kongruence a \sim b \Leftrightarrow \varphi(a) = \varphi(b)\,\!.
Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy A/\sim \simeq Im(\varphi)\,\! pro \varphi: A \rightarrow B \simeq A/\sim\,\!.
A naopak projekce \psi : A \rightarrow A/\sim\,\! je homomorfismem pro kongruenci na algebře \sim\,\!.
Příklad
V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek 0 a lichá čísla na prvek 1, příslušné operace by byly zadefinovány takto:
* Operace (+)\,\!
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
* Operace (-)\,\!
-0 = 0, -1 = 1
* Operace 0\,\!
Konstanta 0 se zobrazí na 0.
Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.