Funkce alef

Funkce Alef (značená \aleph\,\! a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu \alpha přiřadí kardinální číslo představující \alpha-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvod

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. +more V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších: * Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. +more To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem \omega, proto platí \aleph_0= \omega\,\. * Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto \aleph_1\,\. je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, \aleph_1\,\. je nejmenší kardinální číslo větší než \aleph_0\,\. . * \aleph_2\,\. je nejmenší kardinální číslo větší než \aleph_1\,\. atd. * Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je \omega_0\,\. . Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce \aleph\,\. řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme \aleph_{\omega_0} jako supremum všech předchozích hodnot, tedy \aleph_{\omega_0}= \bigcup_{\alpha. * \aleph_{\omega_0+1}\,\. pak bude nejmenší kardinální číslo větší než \aleph_{\omega_0}\,\. . Podobně se definuje \aleph_{\omega_0+2}\,\. atd. * \aleph_{\omega_0+\omega_0}\,\. pak bude supremum posloupnosti \aleph_{\omega_0+1},\aleph_{\omega_0+2}, \dots \,\. * Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Definice

Funkcí \aleph\,\. rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně): * \aleph_0= \omega_0\,\. +more * Pro každé ordinální číslo \alpha je \aleph_{\alpha+1}\,\. rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než \aleph_{\alpha}\,\. * Pro každé limitní ordinální číslo \alpha je \aleph_{\alpha}= \bigcup_{\beta.

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako \alpha+1\,\!, právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce ℵ

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost \alef_1\,\!“.

Pevné body

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce \alef\,\. roste (např. +more v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí \alef_1\,\. a všech matematických funkcí je \alef_2\,\. ), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla \alpha\,\. taková, že \aleph_\alpha=\alpha\,\. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}\ldots\,\.

Odkazy

Související články

Kardinální číslo * Ordinální číslo * Regulární ordinál

Kategorie:Kardinální čísla Kategorie:Matematické funkce