Hankelova matice

Barevné vyjádření vzoru Hankelovy matice V lineární algebře se čtvercová matice nazývá Hankelova, pokud má konstantní hodnoty v rámci všech řad rovnoběžných s vedlejší diagonálou. (Matice s konstantními radami rovnoběžnými s hlavní diagonálou se nazývají Toeplitzovy.)

Matice je pojmenována po německém matematiku Hermannu Hankelovi (1839-1873).

Definice

Hankelova matice \boldsymbol A řádu n určená (2n-1)-ticí čísel c_2,c_3,\dots,c_{2n} je definována vztahem a_{ij}= c_{i+j}.

Obsah matice lze znázornit pomocí diagramu:

:\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} c_2 & c_3 & c_4 & \ldots & \ldots &c_{n+1} \\ c_3 & c_4 & \ldots & \ldots &c_{n+1} &\vdots \\ c_4 & \vdots & & . &\vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots& . +more & & \vdots & c_{2n-2}\\ \vdots & c_{n+1} & \ldots & \ldots & c_{2n-2}& c_{2n-1} \\ c_{n+1} & \ldots & \ldots & c_{2n-2} & c_{2n-1} & c_{2n} \end{pmatrix}.

Ukázka

Hankelova matice řádu 5 má podobu: :\begin{pmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\ \end{pmatrix},

Hankelova matice řádu 4 určená sedmicí 1,3,5,7,9,5,6: : \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 5 \\ 7 & 9 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}

Vlastnosti

Pro indexy splňující i\le j platí, že a_{ij} = a_{i+k,j-k} pro všechna k = 1,...,j-i.

* Hankelova matice je vždy symetrická. * Vektorový prostor Hankelových matic má dimenzi 2n-1. +more * Do třídy Hankelových matic náleží Hilbertovy matice.

Reference

Kategorie:Matice