Toeplitzova matice

Toeplitzova matice, pojmenovaná po německém matematikovi Ottu Toeplitzovi, je pojem z oboru lineární algebry, který označuje zvláštní druh matic, jež jsou konstantní v rámci všech diagonál vedoucích ve směru shora zleva doprava dolů (matice s konstantními diagonálami shora zprava doleva dolů se nazývají Hankelovy). Například Toeplitzova čtvercová matice stupně 5 má tedy obecně podobu

: \begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ i & h & g & f & a \end{bmatrix}.

obecnější podoba Toeplitzovy čtvercové matice je : \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots &a_{-n+1} \\ a_{1} & a_0 & a_{-1} & \ddots & & \vdots \\ a_{2} & a_{1} & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1} & a_{-2}\\ \vdots & & \ddots & a_{1} & a_{0}& a_{-1} \\ a_{n-1} & \ldots & \ldots & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{bmatrix}

Tento vztah lze také vyjádřit rovností :a_{i,j} = a_{i-1,j-1}. pro všechna 0

Díky speciálnímu tvaru těchto matic existují poměrně efektivní algoritmy s nimi pracující. Například Levinsonova rekurze umožňuje vyřešení příslušné (i nehomogenní) soustavy lineárních rovnic v čase \Theta(n^2). +more Její varianta také umožňuje najít determinant Toeplitzovy matice v čase O(n^2).

Reference

Kategorie:Matice